【最终一战】代数tv v.s. Chapter 5!

函子性!

Lemma 5.11.1. $G$ reductive gp, $G\circlearrowright M$ smooth complex alg. var. $M$. $M^G$ fixed pts of $G$ is a smooth subvar. of $M$.

这个的证明是比较黎曼几何的: 取 $G_{comp}$ maximal cpt subgp. 由于 $G_{comp}$ 在 $G$ 中 Zar. dense, 有 $M^G=M^{G_{comp}}$. 对于 $G_{comp}$, $x\in M^G$, 我们可以取出一个 $G_{comp}$-inv. metric on $M$. 现在, 考虑 $G_{comp}$-equiv. 的 $\operatorname{exp}:T_xM\overset{\sim}{\to}M$ local diffeom., $G_{comp}$-inv. in $T_xM$ 一定是一个 subspace, 于是 $M^G$ submfd.

现在, 对于 $A\circlearrowright M$, 称 $a\in A$ 是 $M$-reg. 的, 如果 $M^A=M^a$. 这是 r.s. element in maximal torus 的 generalized.

对于 $M^A\subset M$, 考虑 normal bundle $N=T_{M^A}M$. 有 $A$-action on $M$ induces 了 linear $A$-action along fibers of $N$. 也就是说, 有

且, $a$ $M$-reg. iff $\alpha(a)\neq 1,\forall \alpha\in \operatorname{Sp}N$.

现在, 定义

Cor 5.11.3. $i:M^A\hookrightarrow M$ natural inclusion. Then the composite $i^\ast i_\ast :K^A(M^A)\to K^A(M^A)$ is given by mult. by $\lambda_A$. Moreover, if $a$ $M$-reg. then the induced map of the localized gps is an isom.

对于 $a\in A$ $M$-reg. 我们有 evaluation map $\operatorname{ev}:R(A)\to \mathbb{C}$, $f\mapsto f(a)$. 于是, 我们给出了 $R(A)$ 的一个 $1$-diml 表示 $\mathbb{C}_a$. 注意他实际上也是一个 $R_a$-mod.

而, 记 $K_\mathbb{C}(X)=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}}K(X)$. 定义 $\lambda_a$ 为如下映射下 $\lambda_A$ 的 image:

也就是说, 对于 $T_{M^A}M=\oplus_\alpha N_\alpha$. 对于任意 weight $\alpha\in\operatorname{Sp}N$, 我们有 complex $\alpha(a)$. 于是, 根据 $\lambda(\cdot)$ 的乘积性质, 有

于是, 根据 5.11.3, $\lambda_a$ 可逆. recall $i:M^A\hookrightarrow M$, 我们定义 $\operatorname{res}_a:K^A(M)\to K_\mathbb{C}(M^A)$ by:

特别地, 其 factor through $\mathbb{C}_a\otimes K^A(M)$.

Lemma 5.11.5. $a$ $M$-regular, assume that the loc.thm. holds for $M$, then $\operatorname{res}_a$ gives an isom

Pf: 我们有 isom:

tensor by $\mathbb{C}_a$ 得到

于是, conbined with $i^\ast $, 有 $i^\ast i_\ast ^\mathbb{C}:K_\mathbb{C}(M^A)\to K_\mathbb{C}(M^A)$. 于是, 由于 $i^\ast i_\ast ^\mathbb{C}$ 是 mult. by $\lambda_A$, composing with $\operatorname{ev}$ 得到 mult. by $\lambda_a$.

于是, $(i_\ast )^{-1}=(\lambda_a)^{-1}\otimes\operatorname{ev}\circ i^\ast $.

现在是, (an analogue) the Lefschetz fixed point formula. fix $a\in A$ abelian red. gp.

Theorem 5.11.7. $f:X\to Y$ $A$-equiv. proper morph. of smooth $A$-var. Assume that $a$ is both $X$-reg. and $Y$-reg. and that the loc.thm. holds for $X$ and $Y$. Then the following diag. commutes:

为此, 考虑

上面那个 square 显然交换. 而下面这个 square 则是由于 $\operatorname{res}_a^{-1}i_\ast $, 然后考虑 diag.

即可.

现在, 取 $X$ smooth comp., $Y$ pt. 于是, 对任意 $X$-reg $a\in A$ 以及 any equiv. v.b. $V\in K^A(X)$, 有

where $\operatorname{Tr}$ 表示 $a$ 作用在 $H^i(X,V)$ 上的 trace.

现在, 考虑 $M_1\times M_2$ $A$-var. $Z\subset M_1\times M_2$ closed, $A$-stable. 在这里, 并不 assume $Z^A$ smooth.

对于 $a\in A$, both $M_1$ and $M_2$-reg. 考虑 morph. $r_a:\mathbb{C}_a\otimes_{R(A)} K^A(Z)\to K_\mathbb{C}(Z^A)$ as, 对于 $\lambda_1,\lambda_2$ images of $\lambda_A$ into $K_\mathbb{C}(M_1^A),K_\mathbb{C}(M_2^A)$. 有 $\lambda_2$ invertible. 于是, 定义 $r_a$ as the comp.

注意, 这个定义是 asymm. 的, 如果我们在最后考虑 $\lambda_1^{-1}\boxtimes \lambda_2^{-1}$, 那这个 map 就是 $\operatorname{res}_a$.

现在, 考虑 $Z_{ij}\subset M_i\times M_j$ 以及 $p_{ij}:M_1\times M_2\times M_3\to M_i\times M_j$. 我们有

Theorem 5.11.10. $r_a$ commutes with convolution.

证明, 是 direct computation.

Fix $\mathcal{F}_{12}\in \mathbb{C}_a\otimes K^A(Z_{12}), \mathcal{F}_{23}\in \cdots$. $\lambda_i$ classes in $K_\mathbb{C}(M_i^A)$ defined above. 有

而, $\mathcal{O}_{M_1}\boxtimes \lambda_2^{-1}\boxtimes \lambda_3^{-1}=(p^\ast _{13}(\lambda_1\boxtimes \mathcal{O}_{M_3}))\otimes (\lambda_1^{-1}\boxtimes \lambda_2^{-1}\boxtimes \lambda_3^{-1})$. 于是,

根据 proj. formula,

根据 Thm. 5.11.7,

现在, 我们介绍一下 Chern char. 和 convolution 的关系. 这个实际上是 modeled by Riemann-Roch.

对于 $Z\subset M_1\times M_2$, 取 $\mathcal{F}\in K(Z)$, 有 $\operatorname{ch}_\ast \mathcal{F}\in H_\ast (Z)$. 取 $Td_M\in H^\ast (M)$ Todd class of a mfd. $M$, 我们定义 Riemann-Roch map $RR:K(Z)\to H_\ast (Z)$ by

同样的, 注意这里的 asymmetry.

Theorem 5.11.11. (Bivariant Riemann-Roch Theorem) The map $RR$ comm. with convol.

这个的证明和 $r$ 的证明类似. 都是 direct compute. 跳了()

接下来, 就是在下一章经常会用到的 “extreme” case of the Bivariant Riemann-Roch Theorem. 仍旧, fix $Z_{12},Z_{23},Z_{13}:=Z_{12}\circ Z_{23}$. Recall $K$-gps 上的 $\Gamma$-filtration, 有

Prop 5.11.12. For any $p,q\geq 0$, convolution in $K$-theory takes $\Gamma_pK(Z_{12})\otimes \Gamma_qK(Z_{23})$ into $\Gamma_{p+q-m}K(Z_{13})$, where $m=\dim M_2$. Furthermore, the following diagram commutes

有, $K$-theory conv. factor through tensor prod. with support (他这里又 typo 了)

and the proper image $(p_{13})_\ast $. 有 $(p_{13})_\ast $ preserves $\Gamma$-filt. 而, first claim follows from SGA.

对于 diag. 的 commutativity, 取 $\mathcal{F}_{12},\mathcal{F}_{23}$ a sheaf on $Z_{ij}$ with $p,q$-dim. supp. 那么, 根据 5.9.13 我们知道

根据 5.11.11, 有

得证.

至此, Chapter 5 收工.