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这两天有些事情实在太乐了, 导致某人又去贴吧冲了几天浪.

这种狗咬狗的剧情太符合我的世界观了

但不管怎样, 总还是要回归现实的()

这个小盒才是你永远的家

现在我们要介绍 Orbital Var.

recall 一下, 对于 conn. s.s. $G$, 可以定义 $\mathcal{N}\subset \mathfrak{g},\mu:\tilde{\mathcal{N}}\to \mathcal{N}$, $Z=\tilde{\mathcal{N}}\times_{\mathcal{N}}$, 以及, 熟知的

现在, 考虑 $x\in\mathcal{N},\mu^{-1}(x),d(x)=\dim_\mathbb{C}\mathcal{B}_x$, 注意第三章中 $d(x)$ 的记号表示实维数, 而在这里指 cpx. dim. 以及 isotropy gp. $G(x)\subset G$, $C(x)=G(x)/G^0(x)$, 以及 $H_{2d(x)}(\mathcal{B}_x)^{C(x)}$ irr. $W$-mod. 以及 embedding $\mathcal{B}_x\to \mathcal{B}$ 给出 $H_\ast (\mathcal{B}_x)\to H_\ast (\mathcal{B})$. 有

Thm. 6.5.2. (a) For $d(x)=\dim_\mathbb{C}\mathcal{B}_x$, the map $H_{2d(x)}(\mathcal{B}_x)^{C(x)}\to H_{2d(x)}(\mathcal{B})$ is inj.

(b) The morph. $H_\ast (\mathcal{B}_x)\to H_\ast (\mathcal{B})$ comm. with $W$-action from the conv. $H(Z)$-action.

对于 (a), 我们知道 $H_{2d(x)}(\mathcal{B}_x)^{C(x)}$ irr. 所以我们只需要知道这个映射非零就行了. 但, 对于 comp. Kahler 流形, sum of cpx. subvar. 给出了一个 non-zero homology class, 于是 integral over such classes of volume form arising from the Kahler form strictly bigger than $0$, 这个映射非零.

(怎么是个纯几何的证明.. 难以满意)

接下来, 将 $\mathcal{B}_x\hookrightarrow \mathcal{B}$ 写作 $\mathcal{B_x}\hookrightarrow T^\ast \mathcal{B}\overset{\pi}{\to} B$. 于是, 对于 $i:\mathcal{B}\to T^\ast \mathcal{B}$ zero section, 有

于是, 我们 induce 了

comm. with conv. 但, 熟知 $i_\ast $ 拥有右 inv. $\pi_\ast $. 于是我们有

comm. with inv. 现在, 注意 $\mathcal{B}_x,\mathcal{B}$ 都是紧的, 他们的 BM homology 和 ord homology 相等. 得证.

现在, 由于 $H_{2i}(\mathcal{B},\mathbb{Q})$ 上有一个 positive-def. 的 $W$-form, 我们有 $H_{2i}(\mathcal{B},\mathbb{Q})^{\vee}\simeq H^{2i}(\mathcal{B},\mathbb{Q})$ by 3.6.12. 我们在上面说明了 $H^{2i}(\mathcal{B},\mathbb{C})\simeq \mathcal{H}^i$. 下面这个命题需要用到 intersection cohomology. 会在 8.9 中给出证明.

Prop. 6.5.3. The $W$-mod. $H_{2d(x)}(\mathcal{B}_x,\mathbb{C})$ does not occur in $\mathcal{H}^i$ for every $i<d(x)$ and there is a single copy of that mod. occuring in $\mathcal{H}^{d(x)}$.

现在, fix $(x,\mathfrak{b})\in \tilde{\mathcal{N}}$. $\mathbb{O}=G\cdot x$, $\mu^{-1}(\mathbb{O})\subset \tilde{\mathcal{N}}$. 于是我们有 fibration

而, 另一方面, 我们有 $p:\tilde{N}=T^\ast \mathcal{B}\to \mathcal{B}$, 这个 fiber over $\mathcal{B}$ 则 identified with $\mathbb{O}\cap \mathfrak{n}$. 于是, 对于 $\mathbb{O}=G/G(x)$, $\mathcal{B}=G/B$,

也就是如下的 diag. ($\wedge = \wedge$)

考虑 $\mathfrak{b}$ Borel subalg, $\Lambda_{\mathfrak{b}}$ regular locus for the corresp. intersection $\mathfrak{b}\cap\mathbb{O}(=\mathfrak{n}_{\mathfrak{b}}\cap\mathbb{O})$.

非常遗憾, 我们现在要填坑了. 这是 1.6.6. 的内容了. 我们慢慢来说.

最初的 Setting 是 $(M,\omega)$ symplectic cone var. i.e. simplectic mfd. with a v.f. $\xi$ on $M$ s.t. $L_{\xi}\omega=\omega$.

Ok, 在豆包习题课上, 我们算过这个.

$\Lambda\subset M$ cone. subvar, if $\xi$ tangent to $\Lambda$ at any smooth pts of $\Lambda$.

现在, 设 $\Lambda_x$ family of lagrangian cone subvar of $M$ param. by $X$, 这个 equiv. to give such a family

以及 $\Sigma\to X$ proj.

现在, 我们要引进

Thm. 1.6.6. (Resolution of Lagrangian families) Suppose that $M$ is a symplectic cone var, $X$ mfd, $\Sigma\subset M\times X$ a submfd. s.t. $p_X,p_M$ projections are smooth fibrations with surj. diff. Assume moreover, the fibres $\Lambda_x\subset M$ of the proj. $\Sigma\to X$ are lagrangian cone subvar. Then there exists an immersion $i\hookrightarrow T^\ast X$ making $\Sigma$ immersed coisotropic subvar. of $T^\ast X$. Moreover,

(a) The following diag. comm.

(b) $p_M^\ast \lambda_M=i^\ast \lambda_{T^\ast X}$, where $\lambda_M$ and $\lambda_{T^\ast X}$ are the canonical $1$-forms on $M$ and $T^\ast X$ respectly.

(c) The $0$-foliation on $\Sigma$ coincides with the fibration $\Sigma\to M$.

这个 canonical $1$-form 是指的 $1$-form s.t. $d\lambda=\omega$. Cone var. 上, 利用魔术公式 (同伦公式, 确信), 这个一定存在.

而, $0$-foliation, 则是指的 $\Sigma$ 上的一个 foliation s.t. $\forall m\in \Sigma$, $(T_m\Sigma)^{\perp_\omega}$ equal to the tangent space at $m$

这个定理的证明就先不写了, 是一个几几又何何的证明. 我们 back to 6.5, 他应用过来就是:

Prop 6.5.6, (1) $\mu^{-1}(\mathbb{O})$ is a coisotropic cone-subvar. of $T^\ast \mathcal{B}$;

(2) The $0$-foliation on $\mu^{-1}(\mathbb{O})$ coincides with the fibers of the map $\mu:\mu^{-1}(\mathbb{O})\to\mathbb{O}$.

现在, take $\mathfrak{b}$ Borel subalg with nilradical $\mathfrak{n}$. $\tilde{\mathbb{O}}$ irr. comp. of $\mu^{-1}(\mathbb{O})$. 在 Killing form 的角度, 我们可以 naturally identified $\mathfrak{n}=\mathfrak{b}^\perp$. 于是 $\Lambda=\tilde{\mathbb{O}}\cap T_{\mathfrak{b}}^\ast \mathcal{B}$ identified with a subset in $\mathbb{O}\cap \mathfrak{n}$. 于是, 接下来的 result almost immediate from def.

Lemma 6.5.7. (a) $\Lambda$ is an irr. comp. of $\mathbb{O}\cap\mathfrak{n}$, moreover,

(b) The cotangent bundle proj. $\tilde{\mathbb{O}}\to \mathcal{B}$ induces a $G$-equiv. isom. $\tilde{\mathbb{O}}\simeq G\times_B\Lambda$.

现在, 我们要利用 $\wedge = \wedge$ 的两个 proj, 来 parametrize $\tilde{\mathbb{O}}$ 的 irr. comp. 了, 黑子气不气.

我们有, $C(x)$ acts on the set of irr. comp. of $\mathcal{B}_x$. Further more, $G\times_{G(x)}\mathcal{B}_x\simeq \mu^{-1}(\mathbb{O})$ 给出了, for any irr. comp. $\tilde{\mathbb{O}}$ of $\mu^{-1}(\mathbb{O})$, $\mu^{-1}(x)\cap \tilde{\mathbb{O}}$ 是一个 simgle $C(x)$-orbit in the set of irr. comp. of $\mathcal{B}_x$

Claim 6.5.8. The assignments $\phi:\tilde{\mathbb{O}}\mapsto \tilde{\mathbb{O}}\cap T^\ast _\mathfrak{b}\mathcal{B}$ and $\psi: \tilde{\mathbb{O}}\mapsto \tilde{\mathbb{O}}\cap \mathcal{B}_x$ 给出了 natural bij.

现在, set $S={g\in G|gxg^{-1}\in\mathfrak{n}}$, 我们希望建立如下双射

首先, 我们有 $S/G(x)\simeq \mathbb{O}\cap \mathfrak{n}$. 于是, irr. comp. of $S/G(x)=\mathbb{O}\cap\mathfrak{n}$ bij. with $C(x)$-orbits on the set of comp. of $S$ by right translation.

而, 我们可以写出

于是, 我们有 $B\backslash S\simeq \mathcal{B}_x$. 但, $S\to B\backslash S$ fibration with fibers equals to $B$, is in particular conn. 于是, $S$ 的 conn. comp. of $S$ are in natural bij. with conn comp. $B\backslash S=\mathcal{B}_x$.

今天先写到这里()

好, 上班!

考虑 $\Sigma$ closure of $\mu^{-1}(\mathbb{O})$ in $\tilde{\mathcal{N}}$, $\Sigma$ 的 irred. components 被称作 orbital var. associated to the orbit $\mathbb{O}$.

我们可以将 orbital var. bij. 地 corresp. to $\mathcal{B}_x$ 的 $C(x)$-orbits. 我们有如下结论:

Lemma 6.5.12. All orbital var. associated with $\mathbb{O}$ have the same comp. dim. $\dim \Sigma=2\dim \mathcal{B}-d(x)$.

这是因为我们有 proj. $\Sigma\to \mathfrak{b}ar{\mathbb{O}}$. 而这个 proj. 在 $x$ 处的 fibre 是 $\mathcal{B}_x$. 我们有 $\dim\Sigma=\dim \mathbb{O}+\dim \mathcal{B}_x$. 而根据 3.3.25, 我们有 $\dim\mathbb{O}+2\dim \mathcal{B}_x=2\dim \mathcal{B}-d(x)$, 得证.

现在, 我们有一个 Steinberg var. $Z\subset \tilde{\mathcal{N}}\times \tilde{\mathcal{N}}$, 由于 $Z\circ \mu^{-1}(\mathbb{O})=\mu^{-1}(\mathbb{O})$, 有 $Z\circ \Sigma=\Sigma$. 我们将 $H(\Sigma)$ 实现成了一个 $H(Z)$-mod. 而本身 $H(\Sigma)$ 是通过 $\Sigma$ 的 irred. comp. span 出来的. 我们有

Prop. 6.5.13. $H(Z)$-mod. $H(\Sigma)$ isom. to the irred. $H(Z)$-mod. $H_{2d(x)}(\mathcal{B}_x)^{C(x)}$ in the way that the fund. class of each comp. of $\Sigma$ goes to the sum over the $C(x)$-orbit. of the irr. comp. of $\mathcal{B}_x$ under the isom.

Locally, take nbhd $U\ni x$, $U\simeq (U\cap \mathbb{O})\times S$. 取 $\tilde{U}=\mu^{-1}(U)$, 我们有 $\tilde{U}\simeq (\mathbb{O}\cap U)\times \tilde{S}$. 于是我们有

• injective map $res_U:H(\Sigma)\to H(\Sigma\cap \tilde{U})$.

• 有, $\Sigma\cap \tilde{U}\simeq (\mathbb{O}\cap U)\times \mathcal{B}_x$.

由于 $\Sigma$ 的 irrcomp. over $x$ 可以 restrict to a $C(x)$-orb. on the set of $\mathcal{B}_x$, 我们有

• $\operatorname{im}(res_U)=[\mathbb{O}\cap U]\mathfrak{b}oxtimes H(\mathcal{B}_x)^{C(x)}$.

根据 conv. 的性质, 我们这个映射实际上确实是 $H(Z)$-morph. 于是我们可以借助 $U$ 来进行考虑.

考虑 $Z_U=\tilde{U}\times_U\tilde{U},Z_S=\tilde{S}\times_S\tilde{S}$. 我们有 $Z_U\simeq (\mathbb{O}_\Delta\cap U\times U)\times Z_S$. 让前者可缩, 我们得到 bij.

$i:H(Z_U)\to H(Z_S)$, 以及 $i:H(\Sigma_U)\to H(\mathcal{B}_x)$. 虽然这个有点道理, 但他还是惊天符号乱用..

现在, 考虑如下 diag.

由于 $\mathbb{O}_\Delta\simeq \mathbb{O}$ 始终成立, 熟知 Kunneth formula $\mathfrak{b}oxtimes:H_\ast (M_1)\otimes H_\ast (M_2)\overset{\sim}{\to}H_\ast (M_1\times M_2)$ 始终成立, 我们有如上 diag. 交换. 于是, 左侧和右侧的 action 是相等的. 得证.

这就是所谓的 “the Kunneth formula for convolution” argument, 我们以后也许还会用到它.

Remark 6.5.15 是说, 注意 cone-subvar. $C\subset T^\ast \mathcal{B}$ 的 fundamental class 是 nonzero 的: $\mathbb{P}(C)\subset \mathbb{P}^\ast \mathcal{B}:=\mathbb{P} T^\ast \mathcal{B}$ 是 $H_\ast (\mathbb{P}^\ast \mathcal{B})$ 的 non-zero class, 这是因为根据 Thm 6.5.2(a) 的证明, 由于 $\mathbb{P}^\ast \mathcal{B}$ 是 $\mathcal{B}$ 的 cellular fibration, $H_\ast (T^\ast \mathcal{B})\to H_\ast (\mathbb{P}^\ast \mathcal{B})$ inj. 于是 $[\Sigma]\in H_\ast (T^\ast \mathcal{B})$ non-zero.

Take $n=\dim_\mathbb{C}\mathcal{B},d=\dim_\mathbb{C}\mathcal{B}_x$, 于是 $\dim_\mathbb{R} \Sigma=2(2n-d)$. 考虑 $i:\mathcal{B}\hookrightarrow T^\ast \mathcal{B}$ zero section, $\mathbb{D}$ Poincare duality on a smooth cpx. var. $\Sigma\overset{j}{\hookrightarrow}\tilde{\mathcal{N}}=T^\ast \mathcal{B}\overset{i}{\hookleftarrow} \mathcal{B}$ 给出了 maps

现在, 再复合上 $H^{2d}(\mathcal{B})\overset{\sim}{\to}\mathcal{H}^d$, 我们得到 $\epsilon$. 再复合上 $H(\mathcal{B}_x)^{C(x)}\overset{\sim}{\to} H(\Sigma)$, 我们得到

在 Chapter 7 我们会说明这个 map 和 $W$-action comm., hence inj. Furthermore, 在下一章, 我们会给出另一个 interpretation of this map in terms of equiv. Hilbert poly.

下班!

这篇是从 10.2 开始写的.

写的也太慢了qaq

这段时间要处理的实在太多

好累qaq