$W$-harmonic poly. and flag var.

根据 Harish-Chandra 给出来的 pov. 我们知道 canonically $S(\mathfrak{h})^W=\mathbb{C}[\mathfrak{h}^\ast ]^W$, 于是 $\operatorname{Specm} \mathcal{D}^W\simeq \mathfrak{h}^\ast /W$. $D\mapsto \chi(D)\in \mathbb{C}$ char. corresponding pt. of $\mathcal{D}^W$.

于是, 给定 $\chi\in \operatorname{Specm}\mathcal{D}^W$, 考虑如下 eigenvalue problem

考虑 $Sol_\chi$ v.s. of holom. fun. $\psi$ on $\mathfrak{h}$. 根据 [St2] 的结果, 我们有 \(\dim Sol_\chi=\# W\).

对于 $\lambda$ linear-function, 考虑 $e^\lambda$ corresp. exp. fun. (他不是 alg. 的, 只是 holo. 的). 有 $De^\lambda=D(\lambda)\cdot e^\lambda$. 于是 $\psi=e^\lambda$ 是上述 eigenvalue prob. 的一个解当且仅当 $\lambda$ 是 $\chi$ 这个 $W$-orbit 中的一个点. 于是, $\mathcal{H}_\chi=\operatorname{Span}{e^\lambda,\lambda\in\chi}$ 包含于 $Sol_\chi$.

对于 $\chi$ regular, ${e^\lambda}$ linearly independent. 有 \(\dim \mathcal{H}_\chi=\# W\). 于是根据 [St2] 的结论, $Sol_\chi=\mathcal{H}_\chi$.

那 degenerate 的情况呢? 对于 $\chi=0$, 显然 Harmonic poly. 是一组解, 而在 6.3 我们证明了 $\dim\mathcal{H}=# W$. 因此 $Sol_0=\mathcal{H}$.

现在, 对于 $\chi$ $W$-orb. $\lambda\in\chi$, 对于 $R=\sum c_we^{w(\lambda)}\in \mathcal{H}_\chi$, 其 Taylor expansion at the origin has the form $R=\sum_{i\geq 0}\frac{1}{i!}R_i$, $R_i=\sum_{w\in W}c_w\cdot(w\lambda)^i$.

Prop. 6.4.4. (1). 对于 $\Psi=\sum_{i\geq 0}^\infty \frac{1}{i!}\psi_i$ Taylor expansion, $d$ lowest among the integers $i$ s.t. $\psi_i\neq 0$, then $\psi_d$ $W$-harmonic polynomial.

(2) 对于 $\lambda\in\mathfrak{h}^\ast ,{c_w}$ complex number. $d$ lowest among the integers $i$ s.t. $R_i\neq 0$, then $R_d$ $W$-harmonic polynomial.

这个是因为 $D\in \mathcal{D}_+^W$ 的作用一定会降低 degree. 然后对 diff. 后的结果做 Taylor exp. 就做完了.

现在, 我们考虑一个 decreasing filtration $F^\cdot$ of the v.s. $Sol_\chi$. with $F^dSol_\chi={\psi|\psi_i=0,\forall i<d}$.

Prop. 6.4.5. (1) 考虑第一项 non-zero term of $F^dSol_\chi$ 给出了 $W$-equiv. 的 embedding $\operatorname{gr}^F\mathcal{H}_\chi\hookrightarrow \mathcal{H}$.

(2) 对于 $\chi$ regular, 上述映射是一个 isom.

(3) 任意 harmonic poly. on $\mathfrak{h}$ may be written as $R_i=\sum_{w\in W}c_w\cdot(w\lambda)^i$ for appropriate choice of coeff. ${c_w,w\in W}$.

都不难 ().

现在, 对于 $T$ torus corresp. to $\mathfrak{h}$ Lie alg. 我们有一个并不 alg. 的 exp map $\exp:\mathfrak{h}\to T$. 现在, 取 $\mathbb{C}[T]$ rugular functions on $T$, $\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]$ formal power series alg. on $\mathfrak{h}$, 我们有一个 pullback $\exp^\ast :\mathbb{C}[T]\hookrightarrow \mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]$.

不难想象后者比这个映射的 image 大得多. 同样取 $\mathbb{C}[T]^W$ 和 $\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]^W$ alg. of $W$-inv. 于是我们有一个自然的映射 $\mathbb{C}[T]^W\to \mathbb{C}$ 和 $\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]\to \mathbb{C}$, given by evaluation at $1\in T$ and $0\in\mathfrak{h}$. 取 kernel, 得到 $\mathbb{C}[T]^W_+,\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]_+^W$. 最后, 在 $\mathbb{C}[T],\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]$ 中我们有理想 $I^{\mathbb{C}[T]},I^{\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]}$.

有

好, 现在我们有

Lemma 6.4.7. The above maps induce $W$-mod. isom.

最左边的 $\simeq$ 是已经证过的, 由 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]\simeq I^{\mathbb{C}[\mathfrak{h}]}\oplus\mathbb{C}[W]$. 而同样地, 我们有 $\mathbb{C}[T]\simeq I^{\mathbb{C}[T]}\oplus \mathbb{C}[W]$. 而, 根据齐次性, 我们可以将这个 isom. 拓展到 $\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]$ 上, 从而得到

现在, 我们要考虑 alg. $K$-theory. 为此, 我们现在 assume 所有 $K$-gp. 都是 complexified 的, $K^G_\mathbb{C}(\cdot)=\mathbb{C}\otimes_\mathbb{Z} K^G(\cdot)$. 以及, 我们有自然的 $K_\mathbb{C}^T(pt)=\mathbb{C}\otimes_\mathbb{Z} R(T)=\mathbb{C}[T]$. 以及

于是, 我们得到 isom.

于是, 对 $A=1$ 考虑 6.2.3(6), 我们有

于是, 我们得到了, 与黎曼曲面中 Harmonic funct. 到 cohomology 的 argument 相类似的 Borel isom. $\mathfrak{b}eta$: (pentagon)

也就是说,

注意两侧都拥有自然的 grading, 我们会说明 $\mathfrak{b}eta$ double degree: $\mathfrak{b}eta(\mathcal{H}^i)\subset H^{2i}(\mathcal{B})$.

现在, 我们要考虑 $W$ 在 $H_\ast (\mathcal{B})$ 和 $K_\mathbb{C}(\mathcal{B})$ 上的作用. 对于 projection

其为一个 $\mathcal{B}$ 上的 affine bundle. 于是 induces 了 isom. on cohomology.

以及, 在 $K$-theory 的角度, 根据 Thom, $p^\ast :K(\mathcal{B})\overset{\sim}{\to} K(G/T)$.

我们知道 $W=N(T)/T$ 在 $G/T$ 上有一个左乘作用. 于是, 我们有 comm. diag.

于是, 由于顶部的 arrows 和 $p^\ast $s 都是 $W$-mod. maps, 底部的 arrows 也都是 $W$-mod. maps.

现在, 我们需要更加明确地给出定义 $\mathfrak{b}eta$ 时的 pentagon 给出的那些箭头的描述. 首先, view $X^\ast (T)=\operatorname{Hom}_{alg}(T,\mathbb{C}^\ast )$ as lattice in $\mathfrak{h}^\ast $, 于是 $\mathbb{C}[T]\simeq K^G_\mathbb{C}\mathcal{B}$ 由

给出. 于是 pentagon 的右侧 mapping 由

给出, 其中 $c_1(L_\lambda)\in H^2(\mathcal{B})$ first Chern class.

Lemma 6.4.18. 上述 map 是一个 $W$-equiv. alg. homom.

这个映射直接给出了他是 $W$-equiv. 的, 而 alg. homo. 则是因为 $c_1(L_{\lambda+\mu})=c_1(L_\lambda\otimes L_\mu)=c_1(L_\lambda)+c_1(L_\mu)$, 于是其给出 $e^{c_1(L_{\lambda+\mu})}=e^{c_1(L_\lambda)}\cdot e^{c_1(L_\mu)}$.

于是,

Prop 6.4.19. (1) All the maps in Pentagon are $W$-mod. isom.

(2) The map $\mathfrak{b}eta$ takes $\mathcal{H}^i$ to $H^{2i}(\mathcal{B})$.

根据 Lemma, Pentagon 所有的映射都是 $W$-equiv. 的, 所以 (1) 得证. 而, 考虑 power series, 我们得到

而, 这个 equn. holds for all $n$, 于是

将第一个映射 term by term 地映到第二个映射, 也就是说, $\lambda^i\mapsto c_1(L_\lambda)^i$, 得证.

现在, 考虑 $\chi\in X^\ast (T)/W$, $\lambda\in\chi$ representative. 取 $\mathcal{H}_\chi$ spanned by exponential functions $e^{w(\chi)},w\in W$ a holom. funct. on $\mathfrak{h}$. 现在, 考虑 linear map $\mathcal{H}\to K_\mathbb{C}(\mathcal{B})$ by

现在, recall $\Gamma_\cdot$ on $K_\mathbb{C}(\mathcal{B})$ increasing filtration by dim. of support, 与 $F^\cdot$ on $\mathcal{H}_\chi$ decreasing filtration by order at $0$. 我们有如下的结论:

Prop 6.4.20: If $\lambda$ regular, then the above defined map $\eta$ is a $W$-equiv. isom. Moreover, it is ``Poincare dualizing", i.e. for any $d$, one has

这个是一个很有趣的命题, 也是这章的一个核心内容. 给出这个命题的证明, 标志着这章的结束.

现在, 考虑 $\epsilon:\mathcal{H}_\lambda\hookrightarrow \mathbb{C}[T]$ by $e^\lambda\mapsto e^\lambda$, 我们考虑如下的 $W$-equiv. diag. of natural maps (Railways)

那么,

我们 verify the following.

Claim 6.4.23. For any $d\geq 0$, we have $\eta(F^d\mathcal{H}_\chi)\subset \Gamma_{n-d}K_\mathbb{C}(\mathcal{B})$.

于是, $\eta$ induce 了 graded map

于是, 再加上如下 Claim.

Claim 6.4.24. $\operatorname{gr}(\eta)$ is an isom.

完成了证明.

现在, 我们给出两个 Claim 的证明. 如下:

Proof of Claim 6.4.23:

注意 $\operatorname{ch}^\ast (\Gamma_{n-k}K_\mathbb{C}(\mathcal{B}))=\oplus_{i\geq k}H^{2i}(\mathcal{B})$. 于是我们有

由于在 Railways 中, $\pi\circ \alpha=\mathfrak{b}ar{\alpha}\circ p$, 我们需要说明的也就是

现在, 对于 $R\in F^d\mathcal{H}_\chi$, $R=\frac{1}{d!}R_d+\frac{1}{(d+1)!}R_{d+1}+\cdots$.

现在, 我们通过 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]=\mathcal{H}\oplus I^{\mathbb{C}[h]}$ 写出每一项的 $R_i=P_i+Q_i,P_i\in \mathcal{H}^i,Q_i\in I^{\mathbb{C}[\mathfrak{h}]}$. 由于 $\mathcal{H}$ 是有限的, 我们有 $R-\sum_{i\geq d} \frac{1}{d!}P_i\in I^{\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]}$ (注意原书这有个不太影响的 typo), 于是 $R\equiv \sum_{i\geq d} \frac{1}{d!}P_i \pmod{I^{\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]}}$.

于是, $p\circ \epsilon (R)=p\circ \epsilon (\sum_{i\geq d} \frac{1}{d!}P_i)=j(\sum_{i\geq d} \frac{1}{d!}P_i)$, 得证!

Proof of Claim 6.4.24:

对于 graded 的版本, 我们有

而, 对于 $d$ 维的 map, 这个映射就是 $\operatorname{class} R\mapsto \frac{1}{d!}R_d\in \mathcal{H}^d$. 而, up to scalar, 这个映射就是 6.4.5.(ii) 中给出的 isom.! 得证.