理论力学复习提纲
对于拉格朗日量 $\mathscr{L}$, 我们有 Euler-Lagrange 方程
\[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial\dot{q}}\right)=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q}\]对于这一部分而言, 重要的只有两个东西: Noether’s 定理和 Hamiltonian 力学.
Noether’s 定理
“连续的对称性蕴含了守恒量”.
为此, 考察空间 (注意这里只涉及 $q$) 中无穷小变换
\[\delta_\epsilon q=\epsilon X(q,\dot{q},t)\]其被称作一个对称, 如果
\[\delta_\epsilon \mathscr{L}=\epsilon \frac{d}{dt}l,\]对于某个 $l$.
我们希望考虑变分 $\epsilon(t)$. 于是
\[\begin{align*} \delta_{\epsilon(t)}\mathscr{L}&=\delta_{\epsilon(t)}\mathscr{L}(q,\dot{q},t)\\ &=\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q}\cdot \epsilon(t)X+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}}\frac{d}{dt}(\epsilon(t)X)\\ &=\epsilon(t)\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q}X+\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}}\dot{X}\right)+\dot{\epsilon}(t)\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}}X\\ &=\epsilon(t)\frac{d}{dt}l+\dot{\epsilon}(t)\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}}X. \end{align*}\]于是, 我们有
\[\begin{align*} \delta_{\epsilon(t)}S&=\delta_{\epsilon(t)}\int \mathscr{L}dt\\ &=一步分部积分\\ &=\int \epsilon(t)\frac{d}{dt}\left(l-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}}X\right)dt. \end{align*}\]于是我们得到守恒量
\[J=l-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}}X.\]以角动量守恒为例, 比方说 $\mathscr{L}=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+f(x^2+y^2)$, 对于
\[(x,y)\mapsto (y\sin\theta+x\cos\theta,-x\sin\theta+y\cos\theta),\]有 $\delta_\epsilon x=\epsilon y$, $\delta_\epsilon y=-\epsilon x$. $\delta_\epsilon \mathscr{L}=0$. 于是我们得到守恒量
\[J=l-\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}}X=-m\dot{x}y+mx\dot{y}.\]这就是角动量守恒.
Euler’s 方程
计算转动惯量利用积分
\[I=\int dxdydz\rho\begin{pmatrix} y^2+z^2&-xy&-xz\\ -xy&x^2+z^2&-yz\\ -xz&-yz&x^2+y^2 \end{pmatrix}.\]然后由方程
\[\vec{J}=I\vec{\omega}\]并利用角动量守恒, 即可得到角速度的方程. 这就是 Euler’s 方程.
Hamiltonian 力学
定义啥的都跳过一下人生.
\[\mathscr{H}=\sum p_i\dot{q_i}-\mathscr{L}.\]通过简单的推导, 我们得到 Hamiltonian 方程组
\[\begin{cases} \dot{q}_i=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}\\ \dot{p}_i=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_i}. \end{cases}\]守恒量
于是, 我们可以直接导出, 对于相空间函数 $f$, 在运动曲线上,
\[\frac{d f}{d t}+\{f,\mathscr{H}\}=0.\]这也意味着不含时的 $f$ 如果满足 ${ f,\mathscr{H} }=0$, 那他是一个守恒量.
流与 Liouville 定理
根据 Hamiltonian 方程组, 我们实际上诱导了相空间的流. 而熟知的微分几何结论告诉我们, 一个流是保体积的等价于其散度为 $0$, $\sum_i\partial_i\dot{x}^i=0$. 于是直接代入方程组我们就能得到相空间上的流是保体积的, 这就是 Liouville 定理.
从这里我们也能看出, 诸如 Damped Harmonic Oscillator, 所有解最终都会收敛. 他是不保相空间体积的, 因此不能从某个 Lagrangian 力学或 Hamiltonian 力学得到.
正则变换
如果, $Q_i,P_i$ 在 $q_i,p_i$ 诱导的泊松括号下"表现得跟 $q_i,p_i$ 一样", 那么 $Q_i,P_i$ 诱导的泊松括号就与 $q_i,p_i$ 诱导的泊松括号相同. 这被称作正则变换. 在不会用 \newcommand 之前, 去打他的数学形式和证明实在麻烦得过分. 因此先摆了, 反正不太难, 也不会产生歧义.
实际上, 所谓 “正则变换” 构成了一个群.
这一章可以结束于解释 “如何找一个正则变换”. 实际上对于一个一般函数 $G(q,p)$, 考虑流
\[\begin{cases} \frac{\partial Q_i}{\partial s}=\{Q_i,G\}\\ \frac{\partial P_i}{\partial s}=\{P_i,G\}. \end{cases}\]这便给出了一个正则变换. 为证明它, 我们只需去计算诸如 $\frac{\partial}{\partial s} {P_i,Q_j}$ 即可.
我并不确定考试是否会涉及含时的正则变换. 这里有时间再补充吧.
Hamilton-Jacobi 方程
$W(q,t)$ 是一个极值曲线, 那么他满足 Hamilton-Jacobi 方程
\[\frac{\partial W}{\partial t}+\mathscr{H}(q,\frac{\partial W}{\partial q},t)=0.\]辛几何
我觉得吧, 定义啥的没什么可讲的
moment map
碎碎念: 这玩意搞箭图表示论的二重图的时候, 有一个奇怪的概念, 粮食跟我说是来自于辛几何的 moment map, 但我没有太理解kk
对于李群 $G$ 作用在辛流形上, 其诱导了李代数 $\mathfrak{g}\to \text{Vect}(M)$ 的映射. 这是一个李代数同态.
那么对于辛作用, $L_{V_A}\omega=0$. 根据魔术公式, $dl_{V_A}\omega=0$.
于是我们会希望 $V_A$ 是 Hamiltonian 的, 也就是说
\[l_{V_A}\omega=df_A\]这便给出了一个 Poisson 的映射
\[\mathscr{H}:\mathfrak{g}\to C^{\infty}(M).\]使得
\[l_{V_A}\omega=d\mathscr{H}_A,\]\[\{\mathscr{H}_A,\mathscr{H}_B\}=\mathscr{H}_{[A,B]}.\]对偶地, 给出映射
\[\mu: M\to \mathfrak{g}^*,\]\[\langle \mu(-),A\rangle=\mathscr{H}_A(-).\]这个 $\mu$ 被称为 moment map.
Symplectic Reduction
等待施工.
回到 Hamilton-Jacobi 方程
一个 PDE 的结论. 大致的意思是去解一个 Hamiltonian 系统, 等价于去寻找 Hamilton-Jacobi 方程
\[\mathscr{H}(q,\frac{\partial F}{\partial q},t)+\frac{\partial F}{\partial t}=0.\]的解.
可积系统
如果去解 $n$ 维简谐振子的 Hamiltonian 方程组,
\[\mathscr{H}=\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{2}p_i^2+\frac{\omega_i^2}{2}q_i^2\right)\]我们发现他有 $n$ 个守恒量 $f_i=\frac{1}{2}p_i^2+\frac{\omega_i^2}{2}q_i^2$. 特别地, 他们是泊松交换的.
这便引出了 Liouville 的定义.
Liouville 可积性
一个 Hamiltonian 系统是一个三元组 $(M,\omega,\mathscr{H})$, 其中 $(M,\omega)$ 是一个辛流形, $\mathscr{H}$ 是 $M$ 上一个 Hamiltonian 函数. 如果其上有 $n=\frac{1}{2}\dim M$ 个无关且两两泊松交换的守恒量 $f_1,\cdots,f_n$, 称其为(完全)刘维尔可积.
于是有 Liouville-Arnold 定理: 若 $(M,\omega,\mathscr{H})$ 完全刘维尔可积, $\dim=2n$, 则对于 $f=(f_1,\cdots,f_n)$ 正则值 $c\in \mathbb{R}^n$, 有
-
$f^{-1}(c)$ 是在 Hamilton 流下不变的光滑流形.
-
如果 $f^{-1}(c)$ 紧且联通, 那么他微分同胚于 $n$ 维环面.
且在这种微分同胚下, 其上的流是线性的.
\[\frac{d\phi_i}{dt}=\omega_i(c).\]-
存在守恒量 $I_1,\cdots,I_n$, $\omega=\sum_idI_i\wedge d\phi_i$, 在 $f^{-1}(c)$ 的某个邻域内.
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运动方程可以"由二次型积分".
这里 $\phi_i$ 称为角坐标, $I_i$ 称为运动坐标.