理论力学复习提纲
对于拉格朗日量 , 我们有 Euler-Lagrange 方程
对于这一部分而言, 重要的只有两个东西: Noether's 定理和 Hamiltonian 力学.
Noether's 定理
"连续的对称性蕴含了守恒量".
为此, 考察空间 (注意这里只涉及 ) 中无穷小变换
其被称作一个对称, 如果
对于某个 .
我们希望考虑变分 . 于是
于是, 我们有
于是我们得到守恒量
以角动量守恒为例, 比方说 , 对于
有 , . . 于是我们得到守恒量
这就是角动量守恒.
Euler's 方程
计算转动惯量利用积分
然后由方程
并利用角动量守恒, 即可得到角速度的方程. 这就是 Euler's 方程.
Hamiltonian 力学
定义啥的都跳过一下人生.
通过简单的推导, 我们得到 Hamiltonian 方程组
守恒量
于是, 我们可以直接导出, 对于相空间函数 , 在运动曲线上,
这也意味着不含时的 如果满足 , 那他是一个守恒量.
流与 Liouville 定理
根据 Hamiltonian 方程组, 我们实际上诱导了相空间的流. 而熟知的微分几何结论告诉我们, 一个流是保体积的等价于其散度为 , . 于是直接代入方程组我们就能得到相空间上的流是保体积的, 这就是 Liouville 定理.
从这里我们也能看出, 诸如 Damped Harmonic Oscillator, 所有解最终都会收敛. 他是不保相空间体积的, 因此不能从某个 Lagrangian 力学或 Hamiltonian 力学得到.
正则变换
如果, 在 诱导的泊松括号下"表现得跟 一样", 那么 诱导的泊松括号就与 诱导的泊松括号相同. 这被称作正则变换. 在不会用 \newcommand 之前, 去打他的数学形式和证明实在麻烦得过分. 因此先摆了, 反正不太难, 也不会产生歧义.
实际上, 所谓 "正则变换" 构成了一个群.
这一章可以结束于解释 "如何找一个正则变换". 实际上对于一个一般函数 , 考虑流
这便给出了一个正则变换. 为证明它, 我们只需去计算诸如 即可.
我并不确定考试是否会涉及含时的正则变换. 这里有时间再补充吧.
Hamilton-Jacobi 方程
是一个极值曲线, 那么他满足 Hamilton-Jacobi 方程
辛几何
我觉得吧, 定义啥的没什么可讲的
moment map
碎碎念: 这玩意搞箭图表示论的二重图的时候, 有一个奇怪的概念, 粮食跟我说是来自于辛几何的 moment map, 但我没有太理解kk
对于李群 作用在辛流形上, 其诱导了李代数 的映射. 这是一个李代数同态.
那么对于辛作用, . 根据魔术公式, .
于是我们会希望 是 Hamiltonian 的, 也就是说
这便给出了一个 Poisson 的映射
使得
对偶地, 给出映射
这个 被称为 moment map.
Symplectic Reduction
等待施工.
回到 Hamilton-Jacobi 方程
一个 PDE 的结论. 大致的意思是去解一个 Hamiltonian 系统, 等价于去寻找 Hamilton-Jacobi 方程
的解.
可积系统
如果去解 维简谐振子的 Hamiltonian 方程组,
我们发现他有 个守恒量 . 特别地, 他们是泊松交换的.
这便引出了 Liouville 的定义.
Liouville 可积性
一个 Hamiltonian 系统是一个三元组 , 其中 是一个辛流形, 是 上一个 Hamiltonian 函数. 如果其上有 个无关且两两泊松交换的守恒量 , 称其为(完全)刘维尔可积.
于是有 Liouville-Arnold 定理: 若 完全刘维尔可积, , 则对于 正则值 , 有
-
是在 Hamilton 流下不变的光滑流形.
-
如果 紧且联通, 那么他微分同胚于 维环面.
且在这种微分同胚下, 其上的流是线性的.
-
存在守恒量 , , 在 的某个邻域内.
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运动方程可以"由二次型积分".
这里 称为角坐标, 称为运动坐标.