电动力学复习提纲
杂七杂八的公公式式
电荷守恒定律
Coulomb's 定律
两个电荷 在位置 , 那么粒子 会受到力
Ampere's 定律, Gauss's 定律
实际上说的就是磁场无源, 旋度由电流产生. 用人话讲就是
Gauss 定律
一个很好用的定律. 区域表面电场与外法向量点乘的积分等于内部电荷量除以 .
这样就可以利用对称性算一些复杂的电场强度.
Lorentz 力公式
在场里的电荷 , 收到力
Biot-Savart 定律
来自于
其解为
并顺带一提矢量势(vector potential)
上次博士资格考试的那个积分是什么一坨啊...
Faraday's 定律
磁通量的变化产生电场. 具体来说 被 圈住的表面, 有
Lenz's 定律
来拒去留, 大家都是合格的高中生啊.
牢记左手给力, 右手给电.
其余的部分明天更新.
Maxwell's 方程组
几何地, 考虑
那么 Maxwell's 方程组即
并顺带一提他的介质中形式为
为介质的电容率和磁导率.
电磁能和 Poynting 矢量
在区域 内, 单位时间的总做功为
运用安培定律和法拉第定律, 我们得到
于是,
从这个式子里我们可以读出两个东西. 一个是电磁场总能量
另一个是 Poynting 矢量
这个描述了能量流出 的大小与方向.
Remark: 在没有做功的条件下, 取 . 有
更多的电动力学
电磁波
现在考虑真空.
总之可以化简为
也就是说, 电磁波沿着光速前进.
不妨考虑复的解, 原方程其拥有解
其中 .
那么考虑 Maxwell 方程组, 有
利用傅里叶分析我们可以得出其全部的解
于是通过
最终计算得
电磁辐射
我以前居然还会这个? 不可思议.
大致意思就是, 静止电荷产生电场, 稳定电流产生磁场. 加速电荷会产生辐射.
利用 Green 函数的方式 (具体方式得见讲义kk), 对于某一个运动的电荷, 我们可以解出 垂直于电磁波传播方向. 那么 Poynting 矢量
于是总的辐射能量
相对论
Minkowski 时空 和洛伦兹变换的定义可以跳过一下人生.
考虑 Lorentz boost
回顾先前定义的 -形式 , 取
于是
如此便能解出来 .
同样地, 考虑 -形式 , 利用 也可以得到 的形式.
实际上, 利用 Hodge 星 与 Lorentz 变换交换的特点, 我们可以看出如下方程依旧满足
这也就是说, Lorentz 变换把 Maxwell 方程的解变换到 Maxwell 方程的解.
PDE!
解决静电学问题时, 我们希望解方程
在某种特定边界条件下的解. 通常, 是 Dirichlet 和 Neumann 两种边界条件.
-
Dirichlet: ,
-
Neumann: .
注意, 在如上边界条件下, 其解唯一.
相电法(我不记得是不是这么翻译了)
通过假设待求部分外界的电荷的方式, 凑出边界条件并直接算出答案.
Green 函数
记 满足
也就是说
于是
从而对于
- Direchlet 边界条件
取 满足 , , 那么
- Neumann 边界条件
取 满足 , , 那么
电多极扩张(?)
已知
我们要考虑 情况下的 . 其大致操作是利用
通过 Legendre 多项式展开. 最终得到对于 , 有
于是
电偶极子
考虑电偶极子动量
对于电荷量 , 距离为 的两电荷. 总电荷量是 . 他们的电偶极子动量
于是, 总电场
磁偶极子
考虑磁偶极子动量
于是, 总磁场