来邀东邻女伴撷果缓缓归
现在, 我们总 assume admissible stack 存在 substack , 使得 , 其中 smooth scheme, finite group acting trivially on . 这里的 vs refer to 下文的 very stable.
现在, 考虑 of finite type over , 我们选定一个 . 记 为 之 preimage, quotient map.
对于 smooth section with compact support of complex line bundle . 为 section of . 对于这样的 section, 我们可以沿着 的 fibers 做积分, 得到 section of on .
但是, 这么积分得到的结果不一定是 compact 的! 在 上是 compact 的, 但在 上就不一定了.
Definition 2.10. (1) 我们称 是 -bounded 的, 如果对任意 open substack of finite type , 自然的拉回映射 是一个 isom.
(2) 是 -nice 的, 如果 -bounded, 且对于任意supported on the preimage of 的 function, 推前映射 well-define (i.e. absolutely convergent) and defines a smooth section of on .
(3) 如上的 pair 是 excellent 的, 如果 it is nice for all and for , 有 for every smooth section with compact support.
Remark 2.11. -niceness 中的 convergence 对于 总自动成立.
Example: 对于 , , with acting diagonally. 取 , 我们有 在 上的作用是 free 的. set . 在这种条件下我们得到 总是对于 nice 的. 于是 是 excellent 的.
而我们所关心的 case 是 . Fix split connected s.s. gp., its center. 考虑 smooth complete irreducible curve over .
Defn. 3.1. (1) stack of the principal -bundles on , open substack of stable bundles.
(2) For a -bundle on , 记 为 adjoint bundle to associated with the adjoint action of on .
(3) is called very stable if there is no nonzero section of whose values at all points of are nilpotent.
(4) substack of very stable bundles.
对于 genus , 我们有如下很好的性质:
(1) 所有 very stable 的 bundle 都是 stable 的.
(2) 是 的一个 dense open subset of the form , with smooth scheme of finite type over , acts trivially on .
(3) 是 的一个 dense open subset.
在不引起歧义的情况下, 我们会把 的 丢掉, 简写为 .
Claim 3.3. 是 -bounded 的, for all .
这个是 Drinfeld 和 Gaitsgory 的一篇文章证明的. 2015 年的结论.
Conjecture 3.5. 对于 genus ,
(1) 是 -nice 的, 对于 . 特别地, 对于 , 我们得到 map .
(2) For , 的 sections 都 extends to 的一个 continuous section on .
(3) 是 excellent 的.
对于 的情况, Braverman, Kazhdan 和 Polishchuk 给出了第一个 assertion 和一些特殊 case 下的第二, 三个 assertion 的证明. 当然, Aizenbud 和 Avni 的文章也说明了这种情况下这个东西可以直接 reduced 到 algebro-geometric statement 上.
Conjecture 3.6. 对于 stable bundle on of degree , denote the scheme of pairs s.t. , . 于是
(1) irreducible.
(2) .
(3) 拥有 rational singularities.
再会.