流光记-其六

来算一个可观测宇宙内最简单的 Drinfeld center 的例子.

我们考虑的范畴是 , -graded 的 vector spaces. 于是, 由 grading 在 和 处的两个 维线性空间生成.

显然 是 simple 的, 且 . 于是 . 这玩意显然是交换的. 那么 .

而对于 上的 monoidal 结构我们是熟悉的. Drinfeld center 的定义是 . 决定这样一个函子, 从定义上就是三件事:

1. 决定每个 object 打到什么 object

2. 决定每个 morphism 打到什么对应的 morphism

3. 说明这个 functor 是一个 -functor.

OK, 这样很好, 但我们仍有一个问题: 什么是 -functor?

一个 -functor, 当然说的是一系列"自然的" . 以及, -functor 说的是"自然的" .

这里的"自然的", 说的当然就是 with 和 的自然. 具体写下来的话, 以左模为例, 就是如下 diagram 的交换

以及范畴层面的 当然, 这里值得提一嘴的是, 我们的 monoidal category 上, 首先我们有一个自然的 . 这便自然要求 .

好的, 回到 的 case. 我们来多做一些, 刻画 -graded vector space 的 , 在这里 是有限群, . 首先对于 object 层面, 我们当然只用决定 对应的 object 即可. 我们可以不妨设 是一个 graded 在 处的 vector space.

对第二张图熟悉的人可以看出, 其实他是刻画的是一个 (co)complete 的性质. 特别地, naturality 可以由直和来延拓出去. 换句话说, 在 morphism 层面上, 我们也只用刻画 就行.

我们现在给每一个 选定一组基 , 于是, 我们所有的 的自然变换, 都可以看做是一个基变换, 也就是说, .

那么, 这些 就可以由 刻画. 但是我们总有一个 基的选取的自由度. 也就是说, 一个 的作用. 具体写下来, 就是 .

那这个东西还是大得很? 实际上, recall 我们的自然性的交换图表, 我们有

这里便"人类历史上第一次"产生了我们现在熟悉的 braiding relation. 在这个式子里是很好刻画的, 我们只用取 case 就能把这个东西写作 , 其中 . 一个 remark 就是, 我们可以通过选基, 把所有 划归为 .

但这只是一半. 对 -模结构做同样的事, 我们会得到 . 于是, 我们得到的模空间是

这个还是大得不可思议. 但好在, 双模结构还有最最后一个"左右模"结构之外的条件, 也就是, 交换性: 用 来写出来, 就是 由于显然 , 我们最终得到刻画: 对于 , .

针对 的情况, 我们得到 由四个 simple 元素生成: .

换言之, , 写得好看一点就是 .

也就是遗憾的,

未完待续...