流光记

流光记-其八

祝你此行多皎月

早上中午晚上好.

simplicial category 是由 为 objects, morphisms 由

刻画. 他是一个相当几何的刻画, 熟知无穷范畴本质上就是一个从 出发的函子.

我们引入 Cyclic category . 首先, 考虑 set

定义其上 equivalence relation by . 定义 . 简单计算可得 是一个有 个元素的有限集 (当然是关于 对称的).

我们有复合

现在, 我们定义 Cyclic category 仍以 为 objects, 但其 morphism 由
给出.

Remark: 有自然的 functor .

对于某个 topos , 如果你不知道什么是 topos 的话, 比方说就是 , 把所有 "某种范畴一样的东西" 放在一起. 这个 topos 的一个 point 就是一个 geometric morphism . 于是其自然地拥有一个 pullback functor .

这是在刻画 "怎么对具体的抽象范畴取点". 对于 的情况有一套很好的组合拳: 首先我们有 Yoneda 嵌入 , 于是我们就可以从 pullback 出发决定一个 contravariant functor (filtering functor) . 又熟知所有函子都是可表函子的余极限, 于是从 contravariant functor 又可以决定 pullback functor 本身.

对于 , topos of simplical sets 的理论, 他的 points 由 intervals 决定的. 具体来说, 定义

于是, 对每一个 interval , 我们可以定义 contravariant functor
值得注意的是这里偷偷用了一个改写: 将范畴 中的 term 改写成 , 增加了一项.

举几个例子吧, 其一是 , 那么在这里便恢复了 , 标准 geometric realization.

其二是 , 每一个 $n^\ast $ 打到他的 (可以是退化的) -单形子集. 特别地, 对于 的情况, 你可以看出从 的角度讲, 他便是每一个单形打到他的角点集. 这大致刻画了一个 "取 skeleton" 的取点.

对于 point of topos, 可以看做由 associated (filtering) functor 给出的. 我们称 上的一个 cyclic structure 是 的一个 extension .

一个例子是上文的 . 对于 , 这个映射可以写作

这个映射当然可以拓展到 上了: 考虑 given by
于是, 考虑
给出一个提升.

Well, 这个 看起来给了一个不错的 cyclic 结构, 当然像 上也可以给这样的结构. 但一般情况呢? 是个好问题.

对于 simplicial set, 他的 geometric realization 是 quotient space

对于 , 我们有自然的限制函子 . 于是, 我们有左伴随 (也就是左 Kan 扩张)

Remark. 对于任意 , 我们有唯一分解

(Exercise)
以及, cyclic structure of 由
给出. 以及 (这玩意是不是叫求导的惯性定律owo, 虽然我不是特别想明白为啥这二者形式很像)

我们主要关心的东西是 . 下面这个定理给出其刻画

Proposition. For Yoneda embedding,

with the unique element of .

你可以试着通过上面的 ex 结果推一下. 仍记 .

Theorem. 1. The map

induces bijection .

  1. There is a unique group law on by

    Moreover, the morphism in 1. is a group isomorphism.

  2. For any cyclic set, there is a unique right action of on s.t.

请原谅我一直混用 来表示 中的某 object 与实单形 qaq.

未完待续