冷知识: 最初的 (数学上的) TFT 的定义, 其实是 Atiyah 给的.
Defn. 1. positive integer. We define a cat. as:
(1) Objects: closed oriened -mfd. .
(2) 对于 , morph. between 为他们之间的 bordism: oriented -dim'l mfd. with .
(3) , 为 .
(4) morph. 的复合由 给出.
我们可以把 通过无交并实现成一个 symmetric monoidal category. 此外, 我们有同样地 s.m.c. , cat. of -vector space. 现在, 有
Defn. 2. field. A topological field theory of dim. is a symmetric monoidal functor .
对于一个流形 , 我们当然有很多种方式去理解他的边界. 因此, 他可能会出现在很多东西里. 比方说, 对于 , 我们可以将其考虑为 . 在这种条件下, 运用 我们给出了 canonical bilinear pairing
Prop. 3. TFT of dim , then for every closed -mfd , v.s. finite dim'l. And the pairing is perfect, i.e. it induces isom. $\alpha:Z(\bar{M})\to (Z(M))^\ast $.
这是因为, 反过来利用 coev, 我们可以构造 . 然后利用axiom of tft, 我们得到 为 的逆.
在低维条件下, 我们可以非常明确地写出 TFT: 比方说, 在 dim 为 1 的条件下, :
Objects: 两种 ori. 的 pts 之无交并, 所谓 '' '' 与 '' ''. 于是, fix 一个 v.s. , 有 .
然后去考虑 morph. 在这种情况我们把连接 与 的 考虑明白就行了. 将其视为 或者 的情况是容易的: 或者 . 而将其视为 或者 则对应到 direct pairing 与 .
而我们唯一的遗留问题就是 . 如此, 我们可以看出, 他其实是将 先打到 , 再去做自然的 pairing. 得到的结果应当是 . 也就是说, 对应到 之数乘.
我们可以嗅到一些问题所在: 首先, 包含了巨量的 data: 对每一个 mfd, 以及每一个 mfd 的 bordism 组合. 但实际上, 他很有可能是通过一些很少的东西来决定的: 在上面那个例子中, 就是 . 此外, 我们还可以看到很多有趣的不变量: 比方说上面的 对应到的 . 他可能是 v.s. 里唯一的不变量了: 毕竟两个 dim. 相同的 v.s. 同构, 虽然不典范().
我们看一个更复杂的例子, -dim'l 上的 TFT:
:
Objects: 一堆圆圈 . 这是一个玩圆的艺术. Set .
考虑 Pair of pants , 是说, 我们有一个 linear map
实际上, 你可以把 pair of pants 用不同的方式粘起来, 因此, 这个实际上给出了 上的一个 commutative -algebra 结构.
仅仅是 commutative -alg. 结构足够吗? 实际上, 在我们粘合出流形的时候, 我们有些时候还会使用 disk , 我们有 linear map . 在这种条件下, 考虑 粘上 , 我们得到
是 associated to 的 cylinder. 因此, 它实际上给出了 到自身的一个 perfect pairing. 于是, 就像一维的 TFT 是通过一个 -v.s. 给出的, 一个二维的 TFT 则由一个 commutative Frobenius algebra over 给出.
Defn. 4. A commutative Frobenius algebra over is a finite dimensional commutative -algebra , together with s.t. is nondegenerate.