流光记

流光记-其七

于万人中万幸得以相逢

故事从我们无比熟悉的 Stack 开始说起. 这里的 是一个 curve. 对于 是 space 的情况这个 stack 有一个我更熟悉的名字()

考虑 上的 sheaves, Gaitsgory 很早就搓出来了一套 "support" 理论, 用来刻画 sheaves "生长和变化"的情况. 这就是所谓的 singular supports. 对于一个一般的好 stack , 其落在 中.

对于 的情况, 有一个比较 canonical 的 "nilpotent cone" 选取, 也就是所谓 Eisenstein cone. 对于 , 以及 , 写

则 Eisenstein cone 定义为
考虑 不错的 curve (具体来说就是 proper smooth relative Deligne-Mumford). (以及一系列好的性质). 我们引入 Relative moduli of bundles. 对于 , 他的一个 -point 是一个 triple . 其中 , 是 上的 -bundle. 自然地, 是一个合适的 -reduction. 我们后面介绍的东西暂时用不到 Level structure. 因此先记住我们这样便定义了(不错的) stack .

这个事情是, 我们同样可以定义 universal Eisenstein cone . 对

有

现在, 我们要逐渐走到有趣的事情了. 对于 , 在此后我们简记 . 考虑沿着 做 base change, 其中 和 都光滑 (over ) 得到 . 自然地, 我们可以 induce

Nadler 和 Yun 指出 会将 打到 .

他们还花了一些篇幅指出, 这些事情实际上可以对不错的 "complex manifold" setting 去做. 这个事情其实不难说, 只需要把上面代数的论断搬到 analytic 版本的 microlocal arguments 就行了. 但由于篇幅原因暂时就先不介绍了:(

特别地, 对于 analytic etale map, complex manifold. 记 , 诱导了 . 于是, 根据上述论断我们给出了 functor

Conjecture 对于 contractible, 如上 functor 是一个 equivalence.

Well, Well, Well. 让我稍作解释: 这个反映的是 Character Sheaves 在 这个 stack (或者说当做模空间) 上的 locally constant 性质. 前者是对某个 "开集" , 而后者则是 处的 stalk. 这个性质的重要性就不言而喻了()

Nadler-Yun 对这个 conjecture 的注解是, F-K 已经完成了这个证明. 但这个只在 rank one 的情况, 是纯拓扑的. 而整个 general 的证明则用到了深邃的 ABCCFGLRR(几何朗兰兹证明). 仍然缺失一个直接的拓扑的证明.

原文:
Recently Faergeman and Kjaersgaard obtained a proof of Conjecture 5.2.2 (本猜想). As far as we understand, the proof is a direct topological argument in the case of rank one groups, but for general G it uses deep ingredients from the proof of the geometric Langlands conjecture. A direct topological argument in general still seems to be missing.

好的, 那一切都很好. 但现在只留下一个问题: 谁问我了? 意思就是, 为啥我今天突然想写一遍这个.

考虑 universal elliptic curve, 拓扑上他是 . 考虑 , marked point 的 genus one curve 的模空间. 那么, 在某个 fiber 处, 是一个 elliptic curve. 而上述的 locally constant 性质, 则诱导了 在 的作用.

但这是什么呢? , 而根据 Betti Geometric Langlands, 他应该等于 ! 是一个由拓扑构造的东西. 所以我们实际上是构造了

那你当然一眼就能看出, 在 Spectral 角度, 我们有可观测宇宙内最自然的 , . 当然, 把后者看做 commuting stack, characterizing 交换, 当然也有自然的 by , . 以及最后一步, 根据一个我可以给你 retell 出来的逻辑, 他有一个 f.f. subcategory: -mod. 那么, 我们有 , .

显然 和 是一样的. 我在力竭地证明他们和 是一样的, 但仍未成功;w; 至于 , 我们对他知之甚少: 他是唯一来自 automorphic side 的构造, 从一定角度上来说是最有趣的.

我可以跟任何人赌一瓶可乐这四个作用是一样的, 顶多相差一个 twist. 在 中那个 的基的选取其实有其自然性, 而在这种 setting 下甚至不会相差这个 twist. 但是, 严谨的证明还欠功夫.

等我把这个搞明白了, 也许就能发第一篇文章了orz.