你知道范畴是一个什么东西吗？

范畴 (category)

一个范畴 (Category) 由以下数据构成:

1. 对象 (Objects) 的类 .

2. 态射 (Morphisms) 的类: 对任意两个对象 , 有一个集合 , 其元素称为从 到 的态射 (或箭头) .

3. 复合运算 (Composition) : 对任意三个对象 , 有一个映射: , 将 和 映到 .

4. 单位态射 (Identity Morphisms) : 对任意对象 , 存在一个态射 .

这些数据必须满足以下两条公理:

结合律 (Associativity) : 对任意 , 有 .

单位律 (Identity Law) : 对任意 , 有 .

简言之: 范畴是具有复合运算和单位元的箭头的代数结构, 其中复合满足结合律.

群胚 (groupoid)

一个范畴 称为一个群胚, 如果它满足:

1. 是一个范畴 (具有对象、态射、复合和单位态射).

2. 对于 中的每一个态射 , 都存在一个逆态射 , 使得

幺半范畴 (monoidal category)

一个幺半范畴是一个六元组 , 其中:

1. 是一个范畴.

2. 是一个双函子, 称为张量积.

3. 是一个对象, 称为单位对象.

4. 是一个自然同构（结合子）

5. 和 是自然同构（左、右单位子）

   当然他们还要满足一定相容性: 五边形公理和三角形公理.

范畴间的函子

函子 (functor)

设 和 是两个范畴.一个函子 由两部分构成:

1. 对象上的映射: 对 中每个对象 , 指定 中一个对象 .

2. 态射上的映射: 对 中每个态射 , 指定 中一个态射 .

这两个映射必须满足以下两个函子公理, 以“保持范畴结构”:

保持复合: 对于 中任意可复合的态射 和 , 有

 (即, “先复合再映射”等于“先映射再复合”) .

保持单位元: 对于 中任意对象 , 有

 (即, 单位态射映射为单位态射) .

在范畴的角度来讲, 构造一个函子总是容易的: 人们只需要 specify 他把某个 object 打到什么 object, 又把某个 morphism 打到什么 morphism 即可.

范畴等价 (equivalence)

一个函子被称作 Fully Faithful 的, 如果对任意对象 , 映射
是双射.

一个函子被称作 Essentially Surjective 的, 如果对任意对象 , 存在某个对象 , 使得 (即 与 同构) .

两个范畴 和 称为等价的, 如果存在一个函子 满足:

1. 是 Fully Faithful；

2. 是 Essentially Surjective.

此时, 称 为一个等价函子.

切片范畴 (slice)

设 是一个范畴, 是一个对象.定义 切片范畴 (也称为 over category) 如下:

• 对象: 所有形如 的有序对, 其中 , 且 是 中的一个态射.

• 态射: 从 到 的态射是一个 中的态射 , 使得下图交换:

  即满足 .

对偶地, 我们也可以定义 under category .

范畴的连接 (join)

设 和 是两个范畴.定义它们的 联接 如下:

• 对象: 对象集是 和 对象集的不交并:

• 态射: 对于任意两个对象 , 态射集定义为:

  其中 表示恰好含有一个态射的单点集.换言之, 对于任意 和任意 , 存在唯一一个态射 , 记作 .

这两个定义其实也许在普通范畴里用的会比较少. 但他在无穷范畴的领域里作用是很大的. 或许在普通范畴的领域里做这个而不放在无穷范畴的框架下, 就会显得有些别扭了.

范畴的局部化 (Localization)

设 是一个范畴, 是一类态射 (称为弱等价类) .范畴 关于 的局部化是一个范畴 加上一个函子 , 满足:

1. 可逆性: 对任意 , 是 中的同构.

2. 万有性质: 对任意范畴 和任意函子 , 若 在 中为同构 (对所有 ) , 则存在唯一函子 使得 .

即下图可换:

构造我就不写了, 大家集合论基础都很好啊, 哈哈.

好吧, 必须承认这个构造不是 trivial 的.

不过这个不是讨论的主题 ()

松弛/反松弛 (Lax/Oplax) 函子

Lax 幺半函子

设 和 为两个幺半范畴. 一个从 到 的 lax 幺半函子 包含:

1. 底层函子: 一个普通函子 .

2. 张量积结构映射: 一个自然变换

3. 单位元结构映射: 一个态射

需要满足六边形和四边形的相容条件.

Oplax 幺半函子:

一个 oplax 幺半函子 的定义结构与 lax 函子完全相同, 唯一的区别是所有结构映射的方向反转:

1. 自然变换方向为:

2. 单位元结构映射方向为:

3. 相容性图的结构也随之“翻转”（将 箭头反向, 箭头正向, 并相应调整图表路径）.

称一个 lax/oplax monoidal 函子是一个 monoidal 函子, 如果 2,3 中定义的映射是 isomorphism.

范畴上不得不提的东西

"Fibration"

Grothendieck 纤维化 (Fibration)

设 是一个函子.

• Cartesian 态射: 态射 在 中称为 -Cartesian, 如果对于任意 、任意 以及任意 使得 , 存在唯一态射 满足 且 .即下图具有唯一提升:

• Grothendieck Fibration: 函子 称为一个 Grothendieck fibration (或纤维范畴) , 如果对于任意 和任意态射 在 中, 存在一个 -Cartesian 态射 使得 .

直观上, 基范畴 中的每个箭头都可以“拉回”总范畴 中的对象, 且这种拉回具有最佳泛性质.

Grothendieck 构造

设 是一个伪函子 (其中 是小范畴的范畴) .定义其 Grothendieck 构造 为范畴 (也称为 Grothendieck 范畴) :

• 对象: 有序对 , 其中 , .

• 态射: 从 到 的态射是一对 , 其中 是 中的态射, 且 是 中的态射 (注意: 因为 是反变的) .

• 恒等态射: .

• 复合: 给定 和 , 其复合为:

  (此处假设伪函子严格保持复合, 否则需使用给定的相容同构.)

存在自然的投影函子 , 定义为 和 .该投影是一个 Grothendieck fibration, 且纤维 范畴等价于 .

而, 上述构造给出了 Grothendieck fibration 与 伪函子 之间的等价: 每个伪函子通过 Grothendieck 构造产生一个纤维化, 反之每个纤维化给出一个伪函子 (将对象 映到纤维 , 态射 映到拉回函子 ) .这一对应是范畴论中研究“依赖结构”的核心工具.

用 香蕉空间 的话来说, 就是.

极限与余极限 (limit/colimit)

我相信上面那个可能是唯一对你来说陌生的东西. 接下来我就要介绍一些范畴论会用到的简单东西了.

始对象/终对象 (initial/terminal objects)

首先是始对象和终对象.在范畴论中, 始对象与终对象是最简单的泛性质的例子.(←这句话是AI说的, 虽然我部分认同这句话)

设 是一个范畴.

1. 始对象 (Initial Object)
   一个对象 称为始对象, 如果对于任意对象 , 存在恰好一个态射 .

2. 终对象 (Terminal Object)
   一个对象 称为终对象, 如果对于任意对象 , 存在恰好一个态射 .

3. 零对象 (Zero Object)
   如果一个对象同时是始对象和终对象, 则称为零对象.

极限/余极限 (limit/colimit)

接下来是极限 (和余极限) , 那这就是最不简单的泛性质的例子 (确信)

1. 极限 (Limit)

设 是一个小范畴 (small category), 是一个图表 (diagram).

一个从顶点 出发的锥 (cone) 是一族与图表交换的态射 , 即对 中每个态射 , 有 .

该图表的极限是一个泛锥 (universal cone) .其泛性质 (universal property) 为: 对任意其他锥 , 存在唯一 (unique) 态射 使得对所有 有 .

常见特例:

• 离散图表的极限: 积 (product), 记作 .

• 平行箭头图表的极限: 等化子 (equalizer).

• 形如 图表的极限: 拉回 (pullback).

2. 余极限 (Colimit)

给定相同的图表 .

一个到达顶点 的余锥 (cocone) 是一族态射 , 满足对 有 .

该图表的余极限是一个泛余锥 (universal cocone) .其泛性质为: 对任意其他余锥 , 存在唯一态射 使得对所有 有 .

常见特例:

• 离散图表的余极限: 余积 (coproduct) 或和 (sum), 记作 .

• 平行箭头图表的余极限: 余等化子 (coequalizer).

• 形如 图表的余极限: 推出 (pushout).

完备/余完备范畴 (Complete/Cocomplete Categories)

• 一个范畴 称为完备的, 如果 中所有小图表 的极限 都存在.

• 一个范畴 称为余完备的, 如果 中所有小图表的余极限 都存在.

• 若范畴同时完备且余完备, 则称为双完备的 (bicomplete).

在一般范畴下, 有一个关键定理: 一个范畴是完备的当且仅当它拥有所有 (小) 积和所有等化子.它是余完备的当且仅当它拥有所有 (小) 余积和所有余等化子.

你会在这里碰到一个概念: 小范畴.这个概念总是让人很烦的: 严格叙述这些是集合论的工作, 但我相信不会有谁对这东西感兴趣.我们直接采取 Lurie(iii), 也是 Gaitsgory 的处理方式: 小范畴就是所有 object 构成集合的范畴.

共尾/共首函子 (cofinal/coinitial functor)

处理极限和余极限的时候, 我们总是会做一些简化的: 比方说我们取 的时候, 我们总是可以只考虑 的. 这种操作其实就是 cofinal/coinitial functor.

• Cofinal Functor (共尾函子)

设 是一个函子 (通常 是小范畴) .

称为共尾的, 如果它满足极限不变性: 对任意范畴 和任意函子 , 如果余极限 存在, 则自然映射

是一个同构.

• Coinitial Functor (共首函子)

称为共首的, 如果它在对偶范畴中是共尾的.即 是共尾的.

他有一个等价定义, 涉及到 comma category (逗号范畴)与 zig-zag 图. 我们可以模掉这个定义, 因为 Lands 上面没写().

预层 (presheaf)

设 是一个范畴.一个 上的预层是一个函子:

其中 是 的对偶范畴, 是集合范畴.

换句话说, 对每个对象 , 指定一个集合 ；对每个态射 在 中, 指定一个映射 (方向反转) , 满足函子公理:

• (注意复合顺序反转) .

更一般地, 若 是任意范畴, 则取值于 的预层是函子 .

自然变换 (Natural transformation)

那么, 我们好像已经要图穷匕见了: 我们首先引入 Natural transformation:

设 是两个函子 (从范畴 到范畴 ) .一个自然变换 由以下数据构成:

对 中的每个对象 , 指定 中的一个态射 , 称为分量.

这些分量必须满足自然性条件: 对于 中的任意态射 , 下图在 中必须交换:

即 \(\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X\).

Remark:

一个 lax 幺半自然变换 (lax monoidal natural transformation) 是两个 lax 幺半函子之间的、且与它们各自的松弛幺半结构相容的自然变换.

设 和 为两个幺半范畴 到 的 lax 幺半函子. 它们之间的一个 lax 幺半自然变换 是一个自然变换, 并且满足以下两个额外的相容性条件:

1. 与张量积结构相容: 对 中任意对象 , 下图交换

2. 与单位元结构相容: 下图交换

这里 和 分别是 和 的张量积与单位对象.

预层 (Presheaf)

设 是一个范畴. 一个 上的预层是一个函子:

其中 是 的对偶范畴, 是集合范畴.

换句话说, 对每个对象 , 指定一个集合 ；对每个态射 在 中, 指定一个映射 （方向反转）, 满足函子公理:

• （注意复合顺序反转）.

更一般地, 若 是任意范畴, 则取值于 的预层是函子 .

米田引理 (Yoneda Lemma)

对于任意预层 , 存在自然的双射:

其中 表示从 到 的自然变换的集合.

米田嵌入 (Yoneda embedding) 与可表预层 (representable presheaf)

现在, 回顾 slice 的定义, 我们可以定义 上的 presheaves 构成的范畴, 他其实就是 . 那么, Yoneda lemma 实际上诱导了 Yoneda embedding

它定义如下:

• 将对象 映至预层 .

• 将态射 映至自然变换 , 其分量

  由 给出.

米田引理保证了他的忠实性. 而他的像, 则称为可表预层.

熟悉的人都知道, 可表预层的定义是想飘万里. 因此, 你当然不能期望所有预层都是可表预层. 但是, 根据 关键定理, 实际上我们有如此强大的结论:

Every presheaf is a colimit of representable presheaves.

换言之, 是 的 cocompletion.

Kan 扩张 (Kan extension)

设有函子 和 , 则 沿 的左 Kan 扩张是一个函子 （如果存在）, 使得对于任意函子 , 存在自然同构

这实际上就是说 是函子 由复合 所诱导的函子的左伴随.

反之, 也可以定义右 Kan 扩张 满足相应的万有性质:

即 是复合函子的右伴随.

如果你想理解这个映射的话, 可以将 取成一个嵌入.

这种条件下我们考虑的是将 自然地扩展到 上.

实际上当目标范畴 具有 (co)complete 性质时,, Kan 扩张有具体的表达式.

左 Kan 扩张可以表示为余极限:

右 Kan 扩张可以表示为极限:

没错, 不难看出前述关键结论实际上说的就是 上在 Yoneda embedding 上的左 Kan 扩张.

一个 fancy 一点的写法, 是将复合 的操作写为 , 那么, 是 的左伴随, 是 的右伴随. 也就是说, 他们对应到 和 .

伴随 (adjunction)

范畴论最最后的概念是 adjunction.

伴随函子 (adjoint pair)

设 与 为函子.我们说 是 的左伴随 (等价地, 是 的右伴随) , 记作 , 如果对于任意对象 , 存在自然的双射:

其自然性指: 对于任意 在 中与 在 中, 下图交换:

单位/余单位 (unit/counit)

他有一个等价定义: unit 和 counit

1. 单位 (Unit)

即对每个对象 , 有态射

它满足自然性: 对任意 , 有 .

2. 余单位 (Counit)

即对每个对象 , 有态射

自然性: 对任意 , 有 .

它们必须满足以下三角恒等式 (Triangle Identities):

1. 左三角恒等式 (对任意 ) :

   (在 中: 复合为恒等.)

2. 右三角恒等式 (对任意 ) :

   (在 中: 复合为恒等.)

关键结论

我们考虑伴随+(co)unit 构成的 adjunction pair, 有如下两个关键结论:

1. 右伴随 完全忠实 当且仅当 余单位 是自然同构.

2. 左伴随 完全忠实 当且仅当 单位 是自然同构.

以及,

1. 右伴随保持极限: 若 是右伴随, 则 保持所有 (小) 极限.即对任意函子 (图表) , 若极限 在 中存在, 则 在 中自然成立.

2. 左伴随保持余极限: 若 是左伴随, 则 保持所有 (小) 余极限.即若余极限 在 中存在 (对 ) , 则 .

后记/前言

那么, 得道成仙的第一步: 筑基, 也就完成了.

所谓积跬步而至千里, -范畴的理论, 也是通向无穷之路的第一步.