至人无己, 神人无功, 圣人无名.
前言
这个系列 mainly based on Markus Lands 的 Introduction to Infinity-Categories. 只要你在哪里听过无穷范畴这个东西, 你肯定知道 Lurie 这个名字. 没错: 代数tv 在学习无穷范畴的时候也在思考, 为什么不直接读 Lurie.
当然, 这个原因非常简单: Markus Lands 只有 300 页, 是一本非常适合入门的教材. 与之对应的是, CG 和 Achar 各有 500 页, HTT (Higher topos theory) 有 700 页, 而耳熟能详的 HA (Higher Algebra) 则有 1500 页. 如果你在 300 或 500 多页左右的位置迷失了自我, 那你剩下 1000 页的体验就会极差.
当然那不是你, 也许你可以通过 Gaitsgory 的 Vol.1 Chapter.1 或者某篇论文的一页 Intro. to -cat. 领会要点, 但这对于代数tv来说太难了. 代数tv学了一个学期无穷范畴, 但直到现在为止他还是处于脑袋尖尖的状态. 因此, 总结一下无穷范畴的初级理论, 也并非不迫在眉睫的事情.
好的, 好的. 那一个有人关心的问题就是, 为啥要学无穷范畴啊🤔
按照 M.L. 的话来说, 至少有这六个优势, 虽然我并没完全体验到, 但, 在这也罗列一下吧
-
一些比较诡异的东西, 像 homotopy (co)limits, 自然地转化到 -cat. 中自然地东西: 一些 obj. with universal property.
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如果我们说明了某些东西具有泛性质, 我们就可以自然地构造一些映射, 而不仅仅机械地通过看他 associated 的一些东西来打到什么 e.g. 拓扑 -理论的一些 natural maps.
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-cat. 允许你比较好地定义一些 object. e.g. 代数 -理论, 你不用通过什么 来构造他 (我不知道这个构造是什么意思qwq).
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一堆不错的 -cats 放在一起仍旧是一个 -cat. 这是一个很大的优势: 你把一堆 1-范畴扔在一起, 它上面的 natural transform. 就给出了 2-范畴的结构. 这时候你去考虑一些牵扯范畴到 2-范畴的东西(比如 Grothendieck fibration), 就会很鬼畜.
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-cat. 的理论给出了自然的从拓扑空间/概型到满足 descent 性质的一些 cats. 这允许我们去现代地理解 descent theorem for -theory.
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借助 -cat. 你可以像 local system 上的 Verdier dual 一样良好地处理 generalized Poincare duality.
即使在上中下不会提到, 你可以看到空气中存在的 -理论, 六函子, Poincare dual 之类的东西. 但在此之前, ML 还告诉了你 -cat. 中一个巨大的弊病, 这个可以在你读完第一章并仔细想一下看出:
你没有办法徒手构造任何东西.
好的, 当然这是夸张过头了, 至少我还可以徒手定个机票定个酒店再炒俩菜啥的. 不过这也算暂时介绍了一下我们的图景: 无穷范畴的图景.
好吧, 那就开始吧.
单纯集与几何
什么是单纯集(Simplicial Set)
故事的开始我们考虑 category of partial order sets. 他们之间的 morphisms 由集合之间 (不必严格的) 保序映射给出.
category
现在, 我们 fix 一个贯穿始终的 category: , 他是全体 给出的 full subcategory.
如果仔细考虑其中结构的话, 你就会考虑出来一堆 . 也就是说, 你会自然地有这样的东西:
好吧, 我当然少画了很多条线, 但这不重要. 重要的是, 很快就能引出单纯集的定义了.
单纯集 (simplicial set)
单纯集是 上的一个 presheaf. 也就是说, 一个函子 .
在这种 setting (model) 下, 你总是可以问: 作为一个 set, 到底是什么. 在这里, 的情况就可以给出 . 我们称这样的东西给出的像集是 degenerate 的.
你可以很快地给出一个例子: 对于某个空间, 其单纯形构成的集合确实是一个单依纯集. 但实际上, 这个给出的单纯集性质几乎好得不能再好了. 我们会在后面看出这一点.
[Prop] 现在, 我们定义单纯集 by . 于是, 根据一般范畴上的 Yoneda,
以及, Yoneda 提到了, 考虑所有到 cocomplete cat. 的 presheaf 全体, Yoneda embedding 的像在 colim 下稠密. (Ref:前传-米田嵌入 (Yoneda embedding) 与可表预层 (representable presheaf)). 于是, 实际上
乘积和形式 Hom (这俩名字是我自己取的, 好的)
对于 sSet, 我们可以诱导函子 . 我们有如下结论:
[Prop] admits right adjoint , determined by
我们会记 为 . 这个引理是比较显然的, 我们在上面进行了直接构造. 以及, 保 colim 和 sSet 都是 colim of 可构造.
几何侧
好的, 现在引进熟人 范畴, 他的 morph. 是 continuous map. 在这里, 我们暂时使用记号 来表示拓扑上的 -单形.
奇异单纯形 (Singular simplicial set) 与几何实现 (geometry realization)
上面我们提到了 sSet . 我们有如下引理:
[Lemma] admit a right-adjoint: geometric realization
边界 (Boundary), 角 (Horn), 脊柱 (Spine): 空间嵌入
从几何上, 我们会引入 的一些 sub. 也就是一些 sSet . 严格地说, 就是一些 , .
(1) Boundaries: , .
(2) Horns: , , . (这之中 的 case 称为 left horn, 的 case 称为 right horn, 其他 case 称为 inner horn).
(3) Spines: , .
解剖学来了() 从几何的角度来说, 这几个哥们的集合实现恰好就是 bdry, horn 和 spine.
骨骼 (skeleton), 上骨骼 (coskeleton): CW-滤过
以及, skeleton 和 coskeleton, 考虑 , 定义 skeleton , coskeleton .
一个简单的刻画就是,
sk. 与 cosk. 对应所有与 coincide 的极小与极大的 sSet.
他们之间的关系是, 为adjoint pair.
这个实际上给出来了 sSet 集合实现上的 CW-complex 结构. 其中 degree 的部分就对应到 的 geom. real.
神经 (nerve): 范畴到单纯集
然后是第三个构造: 神经 (nerve). 对于一个一般 category , 我们定义其 nerve 是 sSet given by
你可以直接看出, .
在这里, 我们借助上述语言给出第一个几何``玩意'':
对于 group, 把他视为 groupoid, 则 classifying space .
Kan 复形
我们称 是 Kan cpx., 如果他对于 所有 horn inclusion 有提升性质.
几何上, 你可以看出所有拓扑空间上的 singular cpx. 是一个 Kan cpx.
你可以立刻看出: Kan cpx. groupoid. 但, 实际上我们可以更精确地刻画他
定理:(刻画 nerve) simplicial set, TFAE:
(1) 对于 , 有唯一提升性质,
(2) 对于 , 有唯一提升性质,
(3) .
有: 几乎是一个 Kan complex: 他对 的 horn inclusion 有提升性质. (你可以通过 nerves 是 -coskeletal 看出). 此外, 他是 Kan complex 当且仅当 是 groupoid.
无穷范畴 ( -category) 与充实范畴 (enriched category)
-范畴和他的兄弟姐妹 (brothers and sisters).
复合器 (composer) 与复合
称一个 sSet 是一个 composer, 如果他对于 spine inclusion 有提升性质.
于是我们可以定义一堆 morphisms (1-simplex) 的复合: 一个 提升的选取. 这当然不是唯一的, 这也就体现出了该理论中一个重要的特质: 复合不一定唯一.
1-simplex 间的等价
对于 sSet, 1-simplices. 我们称 和 等价 (equivalent), 如果存在 2-simplices , 使得
(i) ,
(ii) ,
(iii) .
你当然能 check 自反性. 但传递性和对称性呢? 实际上, 你可以很快看出, 如果 composer 具有 inner -horn inclusion lifting property, 那么
(1) 之间的 composite 存在,
(2) 上述 equivalent 确为一等价条件,
(3) 任意两个 composite 的选取互相 equivalent.
(4) 如果条件改为
(i) ,
(ii) ,
(iii) .
那么仍然有 .
同伦范畴 (homotopy cat.)
之前我们构造了 nerve . 现在, 我们可以构造 homotopy category: , with
Objects:
Morphisms: , together with free comp. . 并模掉上述等价关系. (这里有一点 subtle: 比方说, 要处理 free comp. 上的等价关系, anyway 这个不太重要).
当然, 你可以直接看出, .
% 这里我不确定要不要讲
他们之间的关系如下:
[Prop] canonically.
[Prop] adjoint pair.
这俩和前传中的某一个定理, 直接给出如下结论:
[Cor] fully faithful.
[Cor] .
无穷范畴 ( -cat.)
现在, 我们终于可以引入主角: 无穷范畴.
称一个 sSet 是一个 -cat, 如果他对于 horn inclusion , 有提升性质.
接下来这是一个相当难证的命题. 我们也未必 (有 概率) 会证明之.
[Prop] Every -cat. is a composer. But there are composers which are not -categories.
无穷群胚 ( -gpod.)
好的, 我们称一个 -cat. 中的 morph. 是 equiv., 如果他在 homotopy cat. 中的像是 isom.
我们称一个 -cat. 是 -groupoid, 如果所有 morphism 都是 equivalence.
对于一个 -cat. 我们可以通过考虑其 pullback of , 其中 为取 中所有 isom. 作为 morph. 得到的 subcat.
他有如下刻画
[Prop] -simplex 包含于 , iff all its edges are equiv.
[Prop] 依然是 -cat.
以及
[Prop] Kan complex 总是 -gpod.
充实范畴 (enriched category)
首先, 需要 remark 一下, 在前传中我添加了一些幺半范畴的内容. 这部分是众所周知的前置了.
Lax monoidal 函子的自然变换给出了 上的范畴结构,
自然也可以考虑 monoidal 函子构成的 full subcat. .
充实范畴 (enriched category)
对于 monoidal category, 我们定义 -充实范畴 为如下信息:
-
对象类 （由于格罗滕迪克宇宙的缘故, 我们始终相信 Object 是一个集合）.
-
对任意两个对象 , 他们之间的 morph. 落在 中:
-
对任意三个对象 , 复合态射由 给出:
-
对任意对象 , 有一个 恒等态射（在 中）
并满足适当地相容性. 同样地, 我们可以自然地定义 -enriched functor between -enriched cat.
最后, 我们定义 为 -enriched category together with -enriched functors 构成的 cat.
这些定义可能比较自然, 或者有些摸不着头脑. 这暂时不太重要.
单纯范畴 (simplicial category)
在之前, 我们定义了 . 我们可以将 together with Cartesian prod with Sets 视为 monoidal cat. 于是, 考虑 -enriched category, 我们定义这类为 simplicial category, 并记全体 simplicial cat. 构成的范畴为 .
[Prop] bicomplete.
[Cor] bicomplete.
现在, 对于 lax monoidal functor between monoidal cat. 我们对每个 hom-obj. 运用 得到一个自然的 functor
这里的几个例子就是,
, .
, homotopy cat.
, .
我们记 $c=c'_\ast,\pi=h_\ast ,u=(ev_0)_\ast $. 于是
[Lemma] , monoidal adjunction.
大黑箱 (BigBlackBox)
或者, 这部分内容也是一层一层往上盖的, 黑箱结束的部分会建立在这些东西之上, 就像塔状结构一样. 因此, 你也可以称这部分为大黑塔 (The Herta).
设 是一个有限非空全序集, 是其中的两个元素. 定义 为 的满足以下条件的子集构成的集合:
换言之, 由区间 中所有同时包含 和 的子集组成.
集合 通过包含关系构成偏序集: . 注意仅当 时 才非空.
设 是一个非空全序集. 以下给出一个单纯充实范畴 的定义.
-
对象: 的对象是 的元素.
-
态射单纯集:
其中 表示偏序集 的神经.
复合运算由观察 1.2.55 中描述的映射诱导: 对任意满足 的三元组, 存在典范的偏序集映射
取神经后即给出复合映射
[Lemma] 1.2.67
单纯充实范畴的范畴 允许所有小余极限. 因此, 上述构造扩充为保余极限函子
它将 送到 . 这个函子自动成为单纯神经函子的左伴随.
[Lemma] 1.2.69
设 并考虑角 . 我们有 是 的子单纯充实范畴, 具有以下性质:
-
的对象由 的顶点给出, 因此与 的所有对象相同.
-
态射单纯集如下给出:
除非 , 而当 时,
是由从 中删除其内部以及第 个底面所得到的子单纯集.
相干神经 (coherent nerve)
对于 simplically enriched cat. 定义其 coherent nerve 为
[Lemma] 的 coherent nerve 自动是一个 composer. Furthermore, 其是一个 -cat. iff 所有的 hom-simplicial sets 都是 Kan cpx.
我们来捋一下关系:
: Set enriched cat, : Cat enriched cat.
无穷范畴
现在, 考虑如下 sCat:
Obj: CW-cpxs,
Mor sSet: , singular set of mapping space.
对于 singular sets, 对于 spines/horns 来说, 由于强同伦收缩核性质, 他当然想怎么提升就怎么提升. 因此他其实是 Kan-enriched 的. 其 coh. nerve 记作 . 他可以刻画如下:
Obj: CWs,
Mor: pts of mapping spaces , moreover, 的 morphs, 恰为 homotopy classes of maps.
子无穷范畴 (sub- -cat.)
[Lemma] prod./coprod. of -cats are -cats.
对于 -cat. , 定义其 sub- -cat. 为 -simplices , -simplices 连接 中元素, 且对于 id. 和 comp., equiv. 封闭. 而 -simplices 包含于 iff all edges rest. to contained in . 其称为 full 的, iff 包含所有 -simplices with bdry in .
[Prop] Sub- -cat. of 1-1 corresp. to subcat. of , full sub- -cat. of 1-1 corresp. to full subcat. of .
-范畴视角下的自然变换
我们定义 -cat. 间的 functors 之间的 natural transf, 为一个 simplicial map that restrics appropriately.
实际上, 回忆之前的 定义, functors 和 natural transf. 对应到 中的 0,1-simplices. 我们希望这仍旧是一个 -cat. 这并不显然, 而这正是下一节的任务之一.
纤维化 (fibration)
这一章我可能会后面整理一下. 我觉得只用关心那些重要的东西就行了.
左/内/右 (left/inner/right) 纤维化 (fibration) 与钝态射 (anodyne)
首先, 一个 map of sSets 被称作 inner/left/right fibration, 如果他拥有对 inner/left/right horn inclusions 的 RLP (right lifting property):
一个 map of sSets 被称作 inner/left/right anodyne 的, 如果它拥有对 inner/left/right fibration 的 LLP (left lifting property):
我们可以有一般的 setting: set of morphs. 所有对 有 RLP 的 morphs, 所有对 有 LLP 的 morphs. 那么, 记 i/l/r horn inclusions, ilr fibs 与 ilr anodynes 就对应 与 .
饱和集 (saturated set)
回忆收缩 (retract) 的定义, 一个映射 被称作一个 retract of , 如果有 comm diag.
现在, 我们称一个 set of morphs of sSets 是 saturated 的, 如果他在 taking pushout, arbitrary coprod., countable composition (colim along ), retract 下封闭. 我们记 的饱和闭包为 .
[Lemma] 为一个饱和集. In particular, 也是一个饱和集.
composer 不一定是 -cat.
我们有如下定理:
[Prop] set of s.t. 都仅拥有有限 nondeg. simplices. 于是任意 , 可以被分解为 s.t. .
当然不理解这个也无所谓, 这个主要是用来给出如下结论
于是, 存在 composer which is not an -cat.
-cat. 总是 composer
[Lemma] set of s.t. 都仅拥有有限石块. 于是 .
[Cor] 恰为 .
Moreover, 他们都是 monos.
于是, 我们可以回答在第二部分给出的问题. 对于 morph. of sCats, 如果对任意 , Kan fib. 于是 inner fib.
[Cor] functor betrwwn ord. cat. 于是 inner fib.
而对于 , 我们可以说得更多:
[Prop] inner-anodyne.
[Cor] -cat. is always composer.
平凡 (trivial) 纤维化与 Joyal 纤维化
现在, 我们有 l/i/j fib. 了, 我们还要引入更多的 fibs:
称 是 trivial fib. 如果他拥有 RLP w.r.t. , for .
现在, 定义 ,
称 是 Joyal fib. 如果他是一个 inner fib, 且拥有 RLP w.r.t. .
两个重要构造
首先, 通过 与 , 我们有 comm. diag.
于是 induces 了
Dually, 对于 , , 我们有
于是 induces 了
他们之间有如下关键关系:
[Lemma] 如下两个 lifting problems are equiv.
-cat. .
于是, 关于 , 我们有如下关键引理
[Lemma] 考虑 monom. 有
i/l/r-anodyne if or i/l/r-anodyne.
这是通过仔细地看 anodynes 的 saturate generators 来完成的. 我们跳过这个引理. 他是为了这个大定理服务的.
[Thm] Let i/l/r fib. monom. then
(1) i/l/r fib.
(2) If i/l/r anodyne, then trivial fibration.
[Cor] sSets, -cat. then so is . If Kan cpx. then so is .
于是, 这允许我们从 -cat. 出发, 定义 -cat.
-(groupoid)
现在, 考虑 coherent nerve. 由 我们induces 自然的 functor .
[Cor] sSet 是 -cat. iff trivial fib. In particular, 的 fiber 总是 Kan cpx.
也就是说, 的 composition 构成的 sSet 是一个 trivial fib.
现在, 考虑 trivial fib. 由于 $\operatorname{Hom}(A,X)\to \operatorname{Hom}(A,Y) $ 总是 trivial fib, 我们取 , 得到 contractible Kan cpx of fibers over . 这个空间被称作 的 section.
对于 -cat, , 考虑 pullback
而我们有关键的如下结论: 这也便是 -cat. 中 的含义.
[Prop] 总是 -groupoid.
无穷范畴的连接 (Join) 与切片 (Slice)
对于一般的范畴, 我们在前传就介绍了他的 Join 和 Slice. 对于无穷范畴的话, 处理会复杂一些.
连接 (Join)
定义与 sSet 结构
为了处理 sSet 范畴上的 join, 首先要定义 Cut 的概念: 对于 linearly ordered set , the set of cuts of 为全体 decomposition s.t. whenever , .
[Lemma] 对于 linearly ordered sets with , , 存在 unique cut s.t. restricts to .
于是, 对于 sSet, 定义 join 为 sSet given as follow:
with $X(\emptyset)=Y(\emptyset)=\ast $. 对于 morph. of linearly ordered sets and a cut of , 我们总是存在
which provides
给出了 上面的 sSet 结构.
保 -cat. 性质
于是, 有
[Lemma] sSet, join construction 给出了函子 与 .
我们有如下关键结论:
[Prop] 为 -cat. if 为 cat.
切片 (Slice)
定义与 Join/Slice adjunction
现在, 对于 , 给出了 sSet 结构, 记作 .
[Lemma] 与 preserves colims.
[Cor] 与 preserves pushouts.
[Cor] right-adjoint to , right-adjoint to .
杂项
实际上到这里, join 和 slice 的故事就差不多了. 接下来我们要讲到的东西短时间可能有些摸不着头脑, 实际上, 也许等到后三章才会用到.
Twisted arrow cat.
对于 ord. cat. 定义 twisted arrow cat. of as:
Obj: morphs of :
Morph between and : comm diag.
i.e. .
Slice/Join adjunction 与 lifting problem
非平凡的是
[Lemma] Slice construction induces functor . In particular, for
there is an induced map
[Lemma] slice/join adjunction 给出了 bij. of lifting problems between
and
Slice/Join adjunction 与 fibration.
于是, 上一节中 相关的 lemma 转化为, 对于 mono,
is a mono. In addition,
(1) it is inner-anodyne if right-ano. or left-ano.
(2) it is left-ano. if left-ano.
(3) it is right-ano. if right-ano.
[Thm] composable maps, mono, inner fib. Then
(1) The induced map
is a left fib.
(2) If left fib. then the induced map
is a left fib.
(3) If right-ano. then the map
is a trivial fib.
(4) If trivial fib. then the map
is a trivial fib.
这个可以导出如下结论:
[Cor] (1) left fib. right fib. In particular, and -cat.
(2) right-ano. , left-ano. .
如上两个定理由 $Y=\ast $ case 直接导出.
(3) For trivial fib. then triv. fib. Furthermore, pullback of and therefore trivial fib.
这是由 情形给出的.
Ok, 至此我们完成了第一部分: 一些基础的概念: sSet, -cat., functor cat., fibration/anodyne map 与 Join/Slice.
下一部分, 会在路上了
吗?
2026.1.15.