BD 讨论班的准备
g-oper and G-oper.
Setting: curve. connected reductive group over . Borel. Throughout the talk we assume s.s. Filtration of by , preserves by . Take by ad.
-oper 本质上是一个 -local system. 对于 -torsor, 我们可以考虑 , local system. 考虑 . 我们可以刻画 .
在这里注意一件事情, 就是现有的 上的 与他的 sub 是没啥关系的. 于是将 视为 的 sub. 我们可以考虑 , 得到的这个 刻画了我们选取的 有多么"偏移" .
-opers 是那些没有那么偏移 但还是完全偏移了 的那些 . namely
Def 1.1. -oper on is a pair w/. .
(1) lands in .
(2) 对于 negative simple root , 考虑到 的 projection,
is an isom.
比方说, 考虑 curve with coord. . 和 trivial torsor by . 这就是一个 -oper.
这里我们实际上只给出了 -oper 的定义. 对于 adjoint type, 我们采用 -oper 作为 -oper 的定义.
Rem. 可以将 -oper 视为一个 -l.s. with a specified reduction of the structure of torsor to satisfying the conditions above.
g-oper leftrightarrow G-oper
首先, 构成一个 groupoid.
诱导了 .
当然, 我们希望将这个定义扩充到一般的 上. 为此, 考虑 connection , 它实际上 induce 了 . 根据 Killing form, 它可以对应到
考察 在其上的作用, 右侧可以等同到
于是, 在 adjoint type 上, 由于 是一个双射, 我们便唯一确定了提升
这里的 是一个 cocharacter . 但在非 adjoint type 上, 不一定是一个 cocharacter. (算一个 的例子). 但不管怎样, 是一个 cocharacter. 于是, fix 一个 square root of canonical bundle , 仍然 induce 了
Def 1.2. Fix square root of canonical bundle . For not necessarily adjoint, we call a -oper is a , with
compatible with as above.
这里的 被称作一个 marking. 当然你可以看出如上定义并不 imply 的存在性. 但 after all, 到 是 up to 的. fix 杀掉了这种对称性.
Ex. 对于 case, 一个 -oper 是一个 rank vector bundle with data , complete flag, is an isom. 以及 connection which satisfies
(1) , induces morphisms between invertible sheaves .
(2) For each , isom.
Functoriality
现在, 对于 -scheme ( ), heuristically 我们可以 identify 以 . 于是一个 -oper on along , 我们可以定义为一个
(a) -torsor on : morphism between scheme, as well as
(b) Reduction to torsor structure to Borel
(c) isom .
which satisfies
(1) lands in .
(2) For each negative simple, isom. Induced map .
(3) agrees with isom .
如上定义有一个好处: 我们自然地可以定义 opers along horizontal maps between -schemes. 于是, 我们得到 as a functor on -schemes.
此外, 对于 schemes, 总可以考虑 . 因此, 则被实现成了一个 functor over schemes.
自然可以问一个问题: 他俩是否 representable. 但先不急, 这个问题我们后面再处理.
Prop 3.1. -oper over -scheme has no nontriv. automorphisms.
Proof: 局部上, 考虑 , 拥有 local coord . 我们总可以写作 , 其中 flat connection, .
考虑 underlying torsor, 一个 autom. 可以看做 left translation by . 由于 在 上的作用 preserves , 有 . 计算其在 上的作用得到
利用它等于 的性质, 我们推出矛盾.
首先, 局部上我们可以取 , 我们取 为最小的 term 包含这个 . 于是 . 于是
fix 一个 cartan , , , .
计算可得
于是 .
但, 根据 Kostant 我们可以通过一个嵌入 , 将 表示为 . 于是根据 表示的性质我们得到 .
Lemma 2.3. Let be a be torsor over a complete curve of genus . Let be a reduction to the Borel such that for each simple positive root , the -torsor has positive degree. Then is unique.
Prop 2.2. Let be a complete curve of genus , semi-simple of adjoint type, and a -local system on which admits an oper structure. Then the oper structure is unique.
这是因为 opers 的条件诱导了 , 在 时自然是 positive degree 的.
Cor 2.4. curve, , f.f. sub of .
non-adjoint type 下, 是一个 " -torsor".
刻画!
md, 终于可以算了
sl2-opers
Lemma 4.1 naturally a torsor for .
这里的 torsor 是说, 局部上我们有 在 opers 上的作用, 而且这个作用是可以粘合到全局的.
(这里准确的说, 由于 是 -scheme 上的 functor, 是一个 torsor for ).
在这里, 考虑合适的 Zariski open, 我们可以考虑 trivial.
首先, 由 oper 的条件, 我们可以给出 . 于是给出 identification .
这里的作用则是 direct given by . 这确实给出了 .
而此外, 对于局部上 , 对 的作用则是将其变为
而根据计算, 会存在唯一的 , 将其变为
因此, 的作用是自由且可迁的.
Cor 4.2. All -opers shares isomorphic underlying -torsors.
这是根据 3.x 确立的 reduction 的唯一性所决定的. 这些 torsor 都是 trivialized 的.
Remark. For every complete , global -opers always exist. 于是 是一个 trivial torsor.
对于 , 这是由 决定的.
对于 , 我们可以取 global coordinate with trivialized torsor with
对于 , 我们可以将其等同到一个 bundle with conn. and a section with nonvanishing co-variant derivative. 取 with trivial conn. and diagonal section 是一个 oper.
g-opers
对于 std. basis , 考虑 principal embedding 将 映到 . 于是其诱导了 w/. adjoint group of . (注意这个只对 principal embedding 诱导).
现在, 考虑 为对应的 -torsors induced via .
于是, induces 了 connection on that satisfies the oper condition for principal. In particular, 对于
我们有
In particular, global -opers always exist.
此外, 我们有如下结论: fix . 利用 . 我们有 -torsor.
Prop. 任何 principal embedding 给出如下 isom.
这个的做法也是比较简单的: reduce 到局部. 最终的 free transitive 的性质是由某种 Kostant 确立的.
Cor. 4.a. All -opers shares isomorphic underlying -torsors, identified with .
Lemma 4.(a+1). $Op_\mathfrak{g} $ a torsor for . naturally a torsor for , both trivial torsor.
Cor 4.(a+2). representable by a -scheme isomorphic to . When complete, representable by a scheme isom. to .
Hitchin space
考察 . 这个记号记作 , 我们有 , 于是
由于我们确实可以 identify 一个
以及根据 Kostant, 我们可以将 identify to . 如此 induces 出来的 上左侧的 -action identify 到右侧的 action. 于是我们得到 identification
那么, cor 4.(a+2) 实际上就转化为
而, 在 section 的角度, 我们有
于是, 对于 affine, representable by a scheme, 也就是一个 affine space for .
注意这里的对应, 我们从 到 和 到 之间的映射, 都依赖于截面的选取: principal bundle 或 sections on Hitchin. 因此这个 并不是 canonical 的, heuristically, 他们之间相差一个 .
coord. alg. of , coord. alg. of . 此外, coord ring of Hitch. 如上我们建立了 和 的 non-canonically isom.
Prop. 4.1. There exists a canonical filtartion of and canonical isom. of .
Cor. 4.2. complete curve, 于是存在 canonical filtration of and canonical isom. of graded rings .
这个 level structure 是由于 是 affine space for over , 而后者的 grading 是由 上的 action 给出的. 于是后者的 grading 给出了 的一个 grading. 此外, 这是一个同构.
Feigin-Frenkel Isom.
Thm. 5.1. The natural map isom. of graded -alg.
Prop. 5.2. The natural surj. isom.
Cor. 5.3. 我们有如下的 isom.
Thm. 5.4. There exists an isom. of filtered alg.
w/. .
Cor. 5.5. induces an isom. of filtered algs.
w/. .
总而言之, 我们搓出了这样的 diag.
我们 GLC 说的是
对于一个 admit oper 结构的 , 我们会得到 closed point. 记 residule field, 我们会在另一边对应到 -mod .
而这些讨论就相信后人智慧了👍.