第二次代数几何讨论班的准备
虽然已经结束了()
扔上来总是没问题()
从 2 开始说? setting 就是 是一个有限 global dimension 的 Noetherian local ring. 我们考虑 作为 的一组生成元 (regular system of parameters of ), 然后, 根据前文我们有他是 -sequence.
Nakayama(或者通过上节课的内容)告诉我们, 实际上这说的就是 构成了 的一组 -basis.
Proposition 22: 是 的 elements, TFAE:
a) is a subset of a regular system of parameters of .
b) The image of in are linearly independent over .
(a) 和 (b) 等价是显然的
c) The local ring is regular, and has .
with . 于是
(需要详细说明!)
然后就说完了.
而 side, by Thm 9,
regular , 而根据上面那个 s.e.s, 等价于 .
(regular ring 都是 normal 的, in particular, noetherian domain. 因此 prime).
Cor: If an ideal of a regular, TFAE:
a) regular local ring,
b) generated by a subset of a regular system of parameters of .
(b) (a) direct by prop.
考虑 ,
如果 regular, , 于是, . (why?)
take 的一组基, 于是, prime and of height , 于是 .
Prop 23: prime ideal of regular ring , then is regular.
Prop 24: completion of local ring for the -adic topology, we have the equivalences:
这个 follows from , with
于是,
Thm 10: complete local ring. have the same char. TFAE:
a) regular of dim .
b) isom. to the formal power series ring .
有, by regular 的d) 等价条件, 他的 gr 是 polynomial alg. .
by Cohen's thm, 对于 complete local ring , 存在 , .
然后考虑 regular system , 有
于是 induces 了 . 他是 inj 的 (一大段argument)
然后, 根据 Prop 6, 由于 是 surj, 也是 surj.
于是 $\phi $ isom.
"It follows from the above that", 一个 ring 是 regular ring 当且仅当对任意 , local regular ring.
以及
Prop 25: regular, ring of polynomial with coeff in , then, is regular and
Lemma 1: -mod, then
首先, 对于 , 由于 -flat, 有 Moreover, clear that .
一个 从某种意义上来说就是, 一个 -mod , equipped with 一个 -morph .
于是, 诱导了 surj . 根据一个过于容易的 degree 的 argument, 我们可以得到他的 ker,
然后就可以根据那个长正合列搞出来 . 从而 确实是 regular 的.
然后我们想 show that . 取 prime ideal of , s.t. . 那么, 考虑 , 实际上 就是一个素理想 (因为 ). 但有
打到这里就比较ez了.
Corollary: field, then regular.
Remark: 对于 , ideal. corresponding affine var. One says is nonsingular if regular. when perfect i.e. field such that every algebraic extension is separable, TFAE:
-
nonsingular;
-
smooth over ;
-
is regular for every extension of .
Bourbaki buhui kk
赛尔 赛尔
用热血写下我们的骄傲