Lectures on Riemann Surface - Quick Ref.
CG

Lectures on Riemann Surface - Quick Ref.

精巧又遥远

感觉, 把一个东西学懂的标准, 就是意识到这些东西都是 trivial 的.

吗

这是 Lectures on Riemann Surface 的 quick reference. 代数tv 在 ICBS 期间花了五天时间看完了这本书. 现在写一下他的 quick reference.

Chapter 1 Covering Spaces.

这个 Chapter 叫这个名字, 就能看出来, 他其实是很拓扑的.

就是一堆基础知识.

1. The Defn. of Riemann Surfaces.

这一章没啥可说的, 就是很基础的定义, 以及 formulate 一些复分析的内容. 注意那些复分析中比较局部的结论可以直接搬过来.

2. Elementary Properties of Holo. Mappings.

  • 在 singularities 上大致是 的形式. 这实际上就是引出了分歧 (ramification) 理论.

  • 开映射给出, 若对于非常值 紧, 则 紧且 满.

这是这章两个比较重要的结论.

3. Homotopy of Curves. The Fundamental gp.

代数拓扑.. 基本群定义以下的东西.

4. Branched and Unbranched Coverings.

对于 , 定义 branch point, 如果对于任意 都不是单射. 称有 branch pt. 的映射是 branched 的, 反之则是 unbranched 的. 熟知 unbranched 的有良好的 local homeo. 性质.

然后是一些关于 lifting 的性质. 可以跳过. 这里一个比较有营养的定理就是对于 local homeo. , 上面的 complex structure unique lift to . 不过也是一个基础定理, 不太重要(确信).

然后是, proper 的 如果是 local homeo. 就是 covering. 以及所有 proper 映射 counting multiplicities 下都拥有相同的 个原像. 比较 triv.

5. The Universal Covering and Covering Transf.

simply conn. mfd 和 universal covering 的关系就跳了, 还有 Deck transf. 和 Galois covering. 我相信一个优秀的大学生应该掌握.

6. Sheaves.

看家本事, 略.

或者说, Riemann Surface 上的 sheaf theory 已经是最简单的 sheaf theory 了()

7. Analytic Continuation.

simply connected 蕴含了 unique continuation. Main Theorem 是说, 对于 R.S., , 函数芽, 于是存在一个 maximal analytic continuation 到某一个 R.S. 上. 给出了一个函数芽-黎曼面对应.

8. Algebraic Functions.

  • Continuation 定理: branched -sheet covering, closed discrete subset contains all critical values 且 . , (resp. ). 定义 为其在 deck transf. 下的像, 为他们生成的对称函数, 则 continued to iff continued to .

  • 代数定理: 对于 , , elementary symm. functions. 于是 满足

因此, 是一个 alg. field ext. of . Moreover, 如果存在 , 各不相同, 那么 .

  • Extend 定理: closed disc. subset, . 于是到 的 unbranched holom. covering 可以 extends to 的 branched covering.

Deck transf. 定理, 等等等等. 这些实际上, 应该不太会用到了. 这些是一些可以简单想象的拓扑.

9. Diff. forms

diff., holom. 的 diff. forms. 然后可以定义 Residue. Merom. form, 外微分的定义.

在下面会不加定义地写 , 可能是 等等等等. 具体的定义参照书上吧.

10. Integration of Diff. Forms.

微分形式, 可以怎么进行积分. 这些直接略应该没啥问题.

11. Linear Diff. Eqn.

最最后一章我们会提到 的 soln. system. 但实际上, 想象一下这个的解的结构应该会能想明白.

Chapter 2. Compact Riemann Surfaces.

Compact 的黎曼面, 我们会关心他精巧的几何结构. 一方面, 我们会导出一些公式, 来刻画其上面 w.r.t. 某些 sheaf 的同调. 另一方面, 我们也会考虑其上 global 的亚纯函数. 注意极大值原理告诉我们 holo. 的函数一定只有常值, 因此其 divisor 的结构唯一决定了函数本身. 因此, 也会关心这样的问题: 什么样的 divisor 会有全纯函数解. 最最后, 跳到模空间的复结构里, 引出一些模空间层面的结论.

12. Cohomology Gps.

Cochains Cocycles Coboundaries 的定义略.

微分函数的好性质: Riemann Surface

  • .

这个是 follows from 单位分解. differentiable 的函数没有那么多限制. 这点跟 holom. 的函数是本质不同的.

对于 simply conn.

  • ,

  • .

这些都是 simply conn. 的好性质. 也揭示了我们可以用 local const sheaves 来算一些(拓扑意义下?)的同调.

Leray 的 Thm 在代数几何 II 就讲过, 但是可以再复述一遍: 可以用 acyclic 的 covering 的 "Cech cohom." 来计算一般的 sheaf 在某空间上的 cohom.

零维的 Cohom. gp., follow by defn, 就是 global section. 我们在前两天更新的 CG 也用过这个结论.

13. Dolbeault's Lemma.

  • compact supp. 于是存在 s.t. .

  • (Dolbeault Lemma) , . 于是存在 s.t. .

  • , . 于是存在 s.t. .

于是, 对于 , . 与此同时, 可以利用 covering 说明 .

14. Finiteness Thm.

  • R.S., open subset, open 相对紧. 于是 Restriction homo.

has a finite dim. image.

于是推出来 , 对于 紧. 这实际上就是 genus 的定义.

而在如上条件下, 如果 non-compt, .

另一个定理会在讲 divisor 的时候用到 (实际上上一个定理也要用).

  • open 相对紧. 于是, 对任意 , 总存在 , 在 处是一个 pole, 而在其余地方 holom. 这个定理能推出来很多结论, 包括 fix disc. set 上的任意取值总能搞到全局的 merom. 的 , 以及其推论 noncompt. 的 ralative compt. subset 总存在 nonconst. holom.

15. The Exact Coh. Seq.

黎曼面上有一些 exact seq.

(a).

(b). , 有

(c).

(d).

(e).

于是, 拉长整合列我们得到, 对于 . 若 , 则

这便给出了 Dolbeault's thm (也许不要和 Dolbeault's lemma 混淆):

以及 de Rham's Thm:

16. The Riemann-Roch Theorem.

Divisor 的定义略. 可以参考 Hartshorne 或者 CG, 虽然后者参考的也是 Hartshorne. 我们定义 s.t. 为 上所有 order 为 的 mero. funct.

  • cpt. , 于是 .

  • Riemann-Roch:

证明有一个值得注意的点, 就是

的 s.e.s.

然后可以给出, 对于 genus , 我们在 14 的 "另一个定理"里, 可以给出 pole 的 order 的上界 . 也就是说, 给出了 到 的不多于 阶 covering.

17. The Serre Duality Theorem.

Mittag-Leffler Dist. 等等都是工具. 不多写

  • Divisor on compact Riemann surface ,

是一个 isom.

这个是 given by

  • divisor of a non-vaishing merom. -form on a cpt. genus satisfies
  • Riemann-Hurwitz: , 为 在 处取 的 multiplicity, branching order, total branching order. 于是, 对 -sheet , with genus , 有
  • compact R.S., divisor on , 有

以及 .

  • compact R.S., divisor on with , 对任意 , 存在 有 . (globally generated).

  • compact, divisor of . 取 basis of , 则

is an embedding.

18. Functions and Diff. forms with prescribed principal parts.

定义邬荣斯基(Wronskian) Determinant: 在 上, 取 basis of . 对于 local coord , 取 . 考虑

这个选取和 coord. 选取只有倍数关系. 因此可以考虑其零点, 记为 Weierstrass pts.

  • 14 中"另一个定理" pole 的 deg 可以选取 order 当且仅当 是一个 Weierstrass pt.

  • Weierstrass pts 记重数下恰有 个.

上面那个译名是我瞎写的.

19. Harmonic Differential Forms.

对于 , . 取 . 一个 form 称作 Harmonic 的, 如果 .

  • Harmonic, iff for any there is , on harmonic s.t. , iff .

  • .

  • Every real harm. -form is the real part of precisely one holom. -form .

注意我们有厄米特型

  • 有 orthogonal 分解
  • 有 .

于是其诱导了映射

20. Abel's Theorem

  • compact, divisor with . 于是 拥有一个解, 当且仅当存在 -chain with s.t.

21. The Jacobi Inversion Problem

取 为 的一组基. 定义 Period Lattice consists of

  • 确为一个 lattice.

定义 . 虽然这个定义与 的选取有关, 但他们典范地同构. 因此我们仍然可以考虑这个 var. 称作 Jacobi var.

定义 ,

  • 可以定义 . 且, 其为 isom.

fix , 定义

与上述 isom 复合, 可以得到 .

  • 上述 是 surj.

  • 对于 case, 上述 是 isom.

Chapter 3. Non-compact Riemann Surfaces.

非紧的曲面, 我们关心的问题是, 他上面的性质能有多好. 首先, 由于没有极大值原理的限制, 在其上考虑 Dir. Prob. 是有道理的. 其次, 即使熟知不是所有黎曼面都能嵌入 维, 非紧黎曼面他也 "不会太大". Runge Approx. Thm 指出, 往 "有界的地方" 限制不会损失掉太多函数. 而在其上, 我们可以建立类似 Hadamard 的东西, 从而随便在 discrete 的层面给出全纯函数. 熟知 上有类似 这样抽象的 line bundle, 实际上, divisor 给出了到 line bundle 的对应. 但非紧的情况下, line bundle 全部都是 trivial 的. 此外, automorphy 问题在非紧黎曼面上一定有解, 这给出了 的解的存在性.

最后, Riemann Mapping Thm 唯一分类了所有黎曼曲面的 universal covering.

22. Dirichlet Boundary Value Problem.

本章唯一关键定理:

  • open subset of a Riemann surface s.t. all boundary pts of are regular. Then for every continuous bounded function , the Dirichlet Problem on can be solved.

Dirichlet Problem: Find ,

Regular: 与 subharmonic funct. 的存在性有关. 不过,

  • 如果 s.t. with s.t. , 则 一定是 regular 的.

具体的证明要参考 Perron's method, 非常有趣的分析工作.

23. Countable Topology.

  • (Rado) Every Riemann surface has a countable topology.

我们讲的 R.S., 都 assume 是 automatic connected 的.

对 , , 定义 为 与 的所有相对紧的 conn. components 的并. 称 是 Runge 的, 如果 .

  • R.S., Runge, 于是 所有 conn. components Runge.

  • non-comp. R.S. Then There exists relatively comp. Runge domains with s.t. has a regular bdry w.r.t. solving the Dirichlet Problem.

24. Weyl's Lemma.

为后面准备的泛函材料

-(Weyl's lemma) open. dist. with . Then smooth.

  • , 则 holom.

25. The Runge Approximation Theorem.

  • rel. comp. open Runge subset of non-comp. R.S. . Then for every open, , restriction is dense.

  • (The Runge Approximation Theorem) non-comp. R.S. open Runge. Then every holom. function on can be approximated uniformly on every comp. subset by holom. funct. on .

  • non-comp. R.S. Then given a -form .

26. The Theorems of Mittag-Leffler and Weierstrass.

non-comp. R.S.

  • .

  • Every Mittag-Leffler dist. has a soln. (Mittag-Leffler, 某种意义上, 是 divisor 的"中间形式". 所以不多赘述了)

  • Every divisor is the divisor of a merom. function .

  • no accumulation, arbitrary complex num. There exists a holom. function with .

27. The Riemann Mapping Theorem.

  • (The Riemann Mapping Theorem) R.S. with . Then can be mapped biholom. onto either , or .

于是 的 univ. covering 一定取这三者之一. 称这三种情况为 elliptic, parabolic 和 hyperbolic. 通过分析 autom. gp., 可以得到

  • elliptic: ,

  • parabolic: ,

  • hyperbolic: other Riemann surface.

一个有意思的推论:

  • non-const. holom. takes every value with at most one exception.

28. Functions with Prescribed Summands of Automorphy

对于一个作用 , 考虑 . 定义 . 则 满足 . 称满足这个条件的 为一个 crossed homom.

  • non-compt R.S. holom. unbranched Gal. covering. . 于是对任意 crossed homom. , 都存在 holom. function s.t. .

  • R.S. holom. unbranched Gal. covering. . 于是对任意 crossed homom. , 都存在 holom. function s.t. .

  • (Behnke-Stein) non-comp. R.S.,

gp. homo. Then there exists a holom. -form with

  • comp. R.S.,

gp. homo. Then there exists a unique harmonic -form with

29. Line and Vector Bundles.

V.B. 和 L.B. 的定义略. 只需要知道一个满足 的一组 cocycle 就能给出一个 line bundle.

对与 divisor on , 我们可以定义 一个 holom. L.B. on . 在 上考虑 s.t. . 于是考虑 给出的一组 holom. cocycle, 就给出了一个 line bundle.

  • R.S. holom. V.B. rel.comp. open, open. Then the restriction surj.

  • R.S. holom. V.B. rel.comp. open. Then f.d.

  • comp. R.S. holom. V.B. rel.comp. open. Then f.d.

对于 , 在 open 上总是可以找到这样的 sections: , 且 discrete. 在每个 上都是一个 pole.

  • . rel. comp. on . 于是对任意 总存在 merom. section of over , which has a pole at and holom. on .

考虑 的 divisor, 给出了某个 line bundle 到 divisor 的对应.

考虑 ,

  • comp. R.S., there is a natural isom of gps

30. The Triviality of Vector Bundles.

大 Theorem 是一个很几何的东西, 比较 trivial, 就不写了. 考虑 non-comp. R.S.

  • Every holom. L.B. on is holomorphically trivial.

  • Every holom. V.B. on is holomorphically trivial.

  • . In particular, .

31. The Riemann-Hilbert Problem.

holom. unbranched covering. deck transf. 称 是 "multiplicatively automorphic with constant factors of automorphy " 的, 如果

  • non-comp. R.S. holom. unbranched Gal. covering. . Then given any homom.

There exists , MAWCFOA .

  • non-comp. R.S.

gp. homo. Then there exists and a fundamental system of solns. of the D.E. on the universal covering of which has the as factors of automorphy.

  • non-comp. R.S. discrete. . Suppose

gp. homo. Then there exists which has a singular pt. at every and a fundamental system of solns. of the D.E. on the universal covering which has the as factors of automorphy.