fix -orbit , 取 , transverse slice 以及 . 我们在 3.5.9. 说明了 是 的一个管状邻域, 以及 是他的一个 retract. 此外, 我们在 3.5.12 证明了我们可以选取 , 使得其 stable wrt 的 adjoint action.
注意 , 拥有 -module structure. 现在, 选取 , 我们取 为 costandard -mod.
现在, 选取 下的 image, 记作 . 我们可以将其分解为 -isotypical comp.
现在, 所有的 都拥有 -mod. 结构. 我们可以定义 上的 -conjugate 结构, by 与 given by intertwines with . 于是, 我们有
Thm. 8.1.13. Nonzero 与 isomorphic iff -conjugate to each other.
注意: 我们并没有证明其 nonzero 性. 可以想象, 对于 generic 的 , 这玩意都会是 . 其非零性的证明要交给 8.8 了.
Prop. 8.1.14. not root of unity, 有 nonzero and any irreducible repn. of that occurs in the isotypic decomp. of .
此外, 还有
Thm 8.1.15. Any simple -mod is isom. to for an appropriate pair , where .
现在, set 为
我们可以引入本章的最主要定理: Deligne-Langlands-Lusztig conjecure for Hecke algebras:
Thm 8.1.16. not a root of unity, then is a complete collection of simple -mods s.t. acts by means of multiplication by $t\in\mathbb{C}^\ast $. Thus, -mods are parametrized by -conjugacy classes of triples where and , i.e. those with nonzero multiplicity in the repn. .
而, simple -mods with fixed central char. 的有限性, 则可以直接由如下 prop 给出.
Prop. 8.1.17. For any s.s. $a\in G\times \mathbb{C}^\ast $, the var. is a finite union of -orbits.
这个证明大概是这样: 首先引入辅助簇
其中 为 conj. class of in . 然后将 $G(s)\times \mathbb{C}^\ast $-orbits on 对应到 上的 $G\times \mathbb{C}^\ast $-orbits 上, 再对应到 -orbits with 上. where
然后再 上, 利用 finite 的性质, 得到 $G(s)\times \mathbb{C}^\ast $-orbits on finite. 最后利用 3.7.6. 得到 $G(s)\times \mathbb{C}^\ast $-orbits 其实就是 -orbits on , 便完成了证明.