好久不见.
上期更新 CG 的时候还是3月份, 时间过得真快啊.
我们上期刚刚好停在了8.3. 这两章是讲 Constructible, 函子理论和 Perverse sheaves 的. 那既然我懒得再重写一遍这个了, 我直接 assume 我还记得 Achar 那里的东西好了.
故事是说, 对于 smooth locally closed subvar. of complex dimension , local system. 我们总能搓一个 中的 , supported on , 满足一系列优美的条件. In particular, 简记其为 , 他满足如下条件
-
, ,
-
.
-
是一个 perverse sheaf.
那么最出名的 BBD 定理如下:
Thm 8.3.4.
(1) 中的 Perverse sheaves 构成一个 heart, 他是 abelian 的.
(2) 中的 simple objects 恰为全体 , 其中 irr. LocSys.
Cor 8.4.4
(1) .
(2) .
我们称 是一个 projective morphism, 如果他可以分解为 , 其中 closed embedding, projective. 于是在这种条件下, Perverse sheaves 有一个深刻的结论: 对于任意 smooth locally closed subvar. 有分解
其中 locally closed, irr. LocSys. 是一个 fdvs. 这就是所谓的 Decomposition Theorem.
现在, 考虑一个简单的 object: 对于 with irred. comp , define by
于是对于 proj. morphism, s.t. locally trivial topological fib. 于是,
换言之, 如果我们取 , 定义 $\doteq $ by quasi-isom. that holds up to a shift, 那么我们有
好的, 现在来到等变领域. 对于 , 我们诱导了
对于 conn. case, 我们诱导了 (以及非满射的 case for not conn.)
Lemma 8.4.11. LocSys on is -equiv. iff its corresponding is a pullback by of a f.d. repn. of .
当然, 这是因为 G-equiv. 等价于说这个 的表示, 在 的作用下是 trivial 的.
由于 总是有限的, -mod. 总是 s.s. 的.
于是, 对于 -equiv. proj. morph. between var, smooth. 假设 拥有 finite -orbits.
Thm. 8.4.12. There is a direct sum decomposition in .
where runs over the set of couples of -orbit , irr. -equiv. LocSys on ; fdvs.
Fine 先到这里