剩下的这部分是上一期的一个补充. 上回我们决定了映射
我们现在想给出 equivariant setting 下的结果. 我们 fix alg. stratification given by -orbits. orbit, isotroupy group, maximal compact subgp. of .
考虑 local transverse slice to at , 根据 3.5 章, 我们可以选取 s.t. -stable. 考虑 , 我们不妨设 homotopy equiv.
现在, 对于 , 我们可以构造 with . 考虑 与 , 根据 proper base change 我们得到 .
于是根据 8.4.9. 我们有
现在, 注意 为唯一的 one-point stratum in . Set , 我们可以借由上面 non-equiv. 的情况来进行讨论. 考虑 . 在 Prop 8.5.10. 我们描述了 canonical mapping . 由于 stable under and . 我们有 -action on the kernel and image of $\tilde{i}_\ast $. 于是, 我们有
Prop. 8.5.16. Let , irrep. of the group . Write , -orbit throught . 于是,
Langlands 味上来了(不捂嘴)(不皱眉)(不捏鼻)(不转头)
现在, 考虑 s.s. element $a=(s,t)\in G\times \mathbb{C}^\ast $, let and be the -fixed point sets and Springer resoln.
这显然是一个 proj. morphism. 于是, 根据 Decomposition Thm, 我们有
现在, fix , 考虑 simultaneous centralizer of and in . 考虑 irrep. of the gp. . 我们有
在这里, 和 $ H_\cdot(\tilde{S})$ 分别是 standard and costandard -mod. 取 . 在下一章, 我们会给出 上的自然 -mod 结构, 然后证明上述 实际上是 isom. of -mods.
以及我后面不确定我会不会用 来表示 或 . 反正都差不多.