然后是 8.2.
脑袋痛痛, 再不结束感觉真要把我顶4了qaq
回忆 affine Hecke, 我们有 , with -basis .
在这里, 考虑 collection of connected components of . 由于 as permutation, 对于 preserves , 我们可以考虑 $l(g,\mathcal{B}_j)=\sum_{q}(-1)^q\cdot \operatorname{Tr}(g:H^q(\mathcal{B}_j)\to H^q(\mathcal{B}_j)) $ Lefschetz number. 对于 , 我们可以 identify 为 的 character canonically. 于是, 我们有如下 char. formula:
Theorem 8.2.1. The char. of the restriction to of the std. mod. , is given by
本章的剩余部分就是证明这个工作. 但是, 当然我懒得复述这个工作了, 所以, 我希望介绍一下他在干些啥.
嘛, 首先, 由于 . 根据 Frobenius, 我们可以将 转化到 . 于是,
往前溯源一下 在 的作用, 通过一堆令人绝望的讨论, 我们最最最终能得到
于是, 由于
而, 由于 odd degree vanished 的性质, 可以 identify 到 . 完成了证明.