其实我很想把这一章跳了orz
剩下一整章都是证明 main thm. 就是 7.2.5. 中的 alg. homo. . 在之前那一章中, 我们通过对生成元来定义 . 那么我们现在又要这么做了. 注意 拥有一组生成元
考虑 . 有 line bundle 长在 上. 考虑 . 于是, 我们可以 view as $G\times \mathbb{C}^\ast $-equiv. sheaf on supported on .
接下来, 对于 , -orbit. smooth. 此外, 其为一个 fibration over : . 记 relative -form. 考虑 smooth irrcomp. of , set .
现在, 我们终于可以定义 :
他这里大概是怎样延拓过去的呢? 和 都是 alg. 他考虑了一个中间 -v.s., 并使 faithfully. 且对于
我们有 .
现在, 我们考虑一个 Casimir-like 的元素 , 有
Lemma 7.6.2. (1) extends by -linearity to an alg. homo.
(2) For any we have .
(3) free -mod. with generator .
代数tv这一块.
于是我们现在有 . 也就是说, .
而, 我们有
于是, 根据 proj. 与 conv. 我们又能够得到 alg. homo/
Claim 7.6.7. inj.
Claim 7.6.8. 2 actions coincide on .
于是 induces 了
Prop 7.6.9. extends to .
借助与 7.2.2. 证明 (没错, 这个被跳过了) 类似的 argument, 我们有
Thm 7.6.10. is a bij.
Ok. 这个证明还是很有意思的. 爸爸像儿子地来说, BFN 关于 Coulomb Branch 性质的若干证明和他有非常相似的抓痕. 我们将 上的 Bruhat order extend 为一个全序.
考虑 . 于是我们可以考虑出一个 Cellular fib. 的结构. 自然地, 有如下引理:
Lem. 7.6.11. (1) induced by induced by inj. and their images form a filt. on indexed by .
(2) For any , rest. to induces isom.
Moreover, RHS is a free -mod. with generator .
同样地, 在 上我们也有 filtration spanned by w. . 我们有
Prop 7.6.12. (1) filtration preserving.
(2) , w. inv.
具体证明就不写了(). 大致都是 ind. on order. 证明里用到的有一个东西还挺好玩的, 提一嘴: 考虑 的 一个 (最短的) 拆分 , 我们有
有 Demazure Resol.
The natural proj.
gives a resol. of singularities of (bir. and prop.) Moreover, on Zariski open subsets
现在, 我们回归上面两个 claim.
7.6.7 的 inj. 证明也就可以仿照 BFN 中处理: 证明在 localization 上 是 id. 更准确地说, 将它 reduced 到 map
是一个 isom. 而我们有 .
处理 7.6.8 我们还有一些路要走. 首先是 compute action .
Lemma 7.6.28. The following diag. comm.
利用 Kunneth, 计算即可.
现在, 我们换一种方式陈述一下 7.6.8. 我们有 comm. diag.
我们从左到右, 总共是 3 条路: 上/中/下, 我们分别记其为 .
于是, 利用 7.6.28, 这允许我们 (通过冗长的 arguments, 包含3页), 给出
Prop 7.6.29. For any , we have , 以及 for any simple, 由 thm. 7.2.16 中式子
来给出.
而, 直接在 中利用生成关系计算得,
Prop 7.6.29. For any , we have , 以及 for any simple, 由 thm. 7.2.16 中式子
来给出.
这最终给出了前文 ''我们有 '' 的 argument. 于是, 我们完成了大定理的证明.
gg!