《偏屈层及其在表示论中的应用》登场，层论与函子都迎来全场最欢乐的环节。
就像一位学者所说，“我这次来几何表示论就是来开算的。没想到算着算着，大家都算到一起去了”。
GLC 怎么不算算到一起去了呢
谱也够和自守也够闹麻了😓
回到 smooth complex var. , proper map , 几何上我们有 , 与 convolution 给出 上的 associative algebra structure.
非常有趣的性质是, 这个有一个 sheaf-theoretic 的描述. 具体的来说, 就是有 algebra isomorphism
后者在 Hom 的复合下有一个自然的代数结构, 而这个同构是保这个代数结构的. 具体地写下来, 我们有如下两个定理.
Lemma 8.6.1. 对于 smooth manifolds of pure complex dimension , . Set . 有自然的 graded v.s. 同构
这个是通过 base change 给出的.
Theorem 8.6.7. 上述同构是一个代数同构, 使得如下图表交换.
这个定理的证明仍旧是 technical 的. 所以我们还是跳过之.
根据如上定理, 我们给出
根据 decomposition thm, 有
总之,
此外, 除非 . 于是,
这里, 我们可以看到第一部分是矩阵代数的直和, 所以是 s.s. 的. 第二部分集中在 degree , 是一个 nilpotent ideal . 于是,
给出了 上的 -alg. 结构. 于是我们得到
Theorem 8.6.12. The non-zero menbers of form a complete set of isom. classes of simple -mods.
我们现在 sheaf-theoretical 地来描述这个代数作用: 简记 , complex. 我们有 hyper-cohomology . 于是有 Yoneda product
而, 对于 locally closed subset embedding. 对于 , 我们实际上给出了 isom. . 于是他 induces 了 . 也就是说, 我们有 graded alg. isom.
于是, globally 我们可以将 $H^\cdot i^\ast $ 替换为 . 于是我们给出来了 上的 -mod 结构. 同样地, 我们可以将 上也赋予这样的结构. 于是, 考虑 ,
Prop. 8.6.15. There are natural -mod structure on and on .
此外, 简记 , 我们有
Prop. 8.6.16. 如下图表交换
那 呢? 我们取 的一个 small neighbourhood in s.t. . 我们有 与 . 于是由 , 我们可以将 转换为 的 -mod 结构. 于是对应的 case 变为如下图标交换.
在书本的最前, Achar 还为大家准备了一个意料之外的彩蛋.
一个没有在范畴论上出现的串烧函子节目, 他介绍的是每一个态射界面诱导的函子.
七个层论的函子用优雅符号的形式轮番登场. 无论你是张量积还是 Hom, 是推前拉回还是 Verdier 对偶, 都免不了直接开算, 跟着写出每个层上的专属 homology.
后面忘了