接下来我们故事开始于研究 -mod 与 sheaves 之间的关系. 考虑 embedding of locally closed subset. 对于 , 我们有 natural isom.
几何的来说, 就是
现在, 对于 embedding,
Lemma 8.5.3. vanishes unless , in which case it is an isom.
这是 IC sheaves 的性质保证的. 对于 smooth, proper. embedding. 考虑 constant perverse sheaf on , its direct image.
在 has pure dim 时, 我们有 natural isom
这个其实就是做个 base change 就做完了.
那么接下来, 我们关键的事情是有如下 commutative diagram
后者 induced by Poincare. 而, 选取 small enough open nbhd of s.t. . 我们实际上有 . 于是, 由于 open smooth, compact, 我们有
其中 .
拖着拖着不知不觉就从7.2拖到7.14了. 时间怎么这么快..
现在, 对于 smooth alg. var. of pure dim , proj. morph. 对于 的一个 regular stratification s.t. 是一个 locally trivial topological fibration. 根据上面的定理我们有
也就是说, up to 一个 shift 两边取等.
于是现在考虑 根据上面那个 base change lemma, 有
对于 "minimal" stratum, 有 . 于是由于 , 总有 has multiplicity . 于是在这种情况下 的 subspace 结构是给定的. 此外, 根据上面的大交换图标, 我们可以将 看作 的 sub.
此外, 注意我们有 bilinear pairing
(写到这里的时候 CG 有很多 typo, 看得出来这俩哥们也不太想写了)
这一部分我们就先写到这个关键结果作为结尾吧:
Prop. 8.5.10. 对于 one point stratum. 考虑 direct image map . Then
(i) The image of $\tilde{i}_\ast $ equals , viewed as a subspace of .
(ii) The kernel of $\tilde{i}_\ast $ equals to the radical of the bilinear form on .
Coro. 8.5.13. We have natural isom.