Hecke alg. of .
回顾我们的 main thm. 他是说 与 . 他的证明放在了下一章. 但当然, 我们也不会完全 follow 他的证明.
在这一章, 我们着重考虑 的状况. 选取 的一个生成元:
于是 中的元素都可以被写作 . 有 transitively. 我们有 natural -equiv. isom.
Lemma 7.5.3. 在 上的右作用是 standard 的 dilation: .
回忆 为 上的 line bundle whose germs of sections are regular homog. functions of deg. on open $\mathbb{C}^\ast $ stable subset of . 而在 6.1 中, 对任意 weight 我们 associate 了一个 line bundle on .
Lemma 7.5.4. For all , there is a natural -equiv. isom. .
现在, 考虑 . 我们可以 regard as , 其上的 -action 则是 . 于是,
Lemma 7.5.5. For ,
Recall 对于 sheaf , ,
以及我们有 Serre Duality
现在, 我们 set . 拥有 与 两个轨道. 于是, 包含两个 comp. 与 . 注意后者对应到 的 zero section, 于是他 isom. to .
此外, 我们还要 set 两个东西: , with relative 1-forms along the 1st proj. , . 考虑 , .
现在, 我们知道 affine Hecke for is an ass. -alg. on generators w/.
and
我们用 重写这几条关系, 即
现在, 我们要构造 alg. isom.
RHS 的 alg. str. given by convolution. 我们现在构造 maps
Thm. 7.5.12. can be extended to i.e. it satisfies
这个的证明是仔细的 -理论计算. 我大概 sketch 一下: 首先, 考虑 . 于是 Koszul cpx.
tensor with , 我们得到
注意 并不是 $\mathbb{C}^\ast $ equiv. 的, 为了使他变得 equiv, 我们需要在后二项中 tensor q. 也就是说, 在 中,
这便允许我们计算 , 经过计算得到他等于 . (在这里我们会利用 与 , 而这个由 7.5.4 与 7.5.5 给出).
而对于剩下的部分, 利用
我们考虑 这样, 由于 (我们可能会在 7.6 证明) 是 inj, 我们就把这个计算划归到容易计算的 -gp. 上了.
我们有 Kunneth formula
因此我们只需要将
两侧写作 的元素即可. 总而言之, 利用 Koszul cpx, 他们都能写成
得证.
Thm 7.5.22. is an isom.
Proof. 考虑 generated by and . 我们有 . Furthermore, 实际上 恰为如下 natural isom 的 composition:
于是, 的像恰为 .
根据 Cellular Fib. Lemma 5.5 applied to , 我们得到
根据 Thom.
而 . 于是 . 于是我们得到
that is
sends to w/. invertible. 于是, 上述映射 isom. 从而 本身 isom.