为了得到这张图, 我们付出了多少努力
主定理证明结束后, 5.1还剩一点尾巴()
考虑 line bundle 上的 ample bundle , i.e., 对任意 coherent, 存在 , 由一些 global section 生成.
由于 quasi-proj 的 都 admit 一个 限制下去的 ample bundle ,有如下结论:
Cor 5.1.21: linear alg gp. smooth quasi-proj. -var. Then there exists a -equiv ample line bundle on .
对于 (possibly inf.dim) v.s., 称这个作用是 alg. 的, 当对任意 都 contained in f.d. -stable v.s. , 且 是 alg. 的.
考虑 v.s. of arbitrary map , righ of regular alg. functions on . 有 自然包含 作为其子空间. 于是, 由于 -action on 给出了 natural linear map
-作用是 alg. 的, 当且仅当 的 image 包含在 中.
Lemma 5.1.23: -equiv. coh. sheaf on an alg. -var. . 自然地拥有 alg. -mod 结构.
这是因为, by Hartshorne, .
与 给出
对于 , 其实就是将 先打到 , 再通过 打到 , 再由 equiv. 性质其打到 , 也就是 , 而这个像落在 中, 得证.
Theorem 5.1.25: (Equiv. proj. embedding) linear alg. gp. normal quasi-proj. -var. f.d.v.s. , an alg. gp. homo. , an equiv. embedding . Here equiv. means
dot stands for std. -action on .
意思就是说, 所有 , -linear alg. gp, quasi-proj. -var. , 都可以看做某个 的某种意义下的 sub. 还是很有意思的.
这个证明并不复杂. 考虑 作为 proj. var. 的 open dense subvar., 由 induce, of fin. dim. 证明的关键在于考虑 morph.
根据 5.1.9, 我们可以用 equiv. 的 来代替 , 根据 5.1.23, 在 上的作用是 alg. 的, 因此存在有限维的 , 包含了整个 . 考虑 命题得证.
Prop 5.1.26: smooth (more generally, normal) quasi-proj. -var. Then any -equiv. coh. sheaf on is a quotient of a -equiv. locally free sheaf.
如上考虑 , ample line bundle on . 我们预先知道的是, 根据 [BS], 我们可以将 提升至一个不一定 -equiv. 的 sheaf on . denoted by . 于是, 根据 ample 的性质, 考虑 足够大使得 由 finite number of global sections 生成 (事实上, 可以取他们生成 ).
By 5.1.9, 不妨 上有 -equiv. structure. 由上命题证明我们可以找到 -stable, fin-dim. 于是, 由于 由 有限生成, 我们得到 surj. natural map
接下来这个 prop 是说, 对于 quasi-proj. 的 , 它上面的 -equiv. sheaf 实际上就是从 上限制下来的.
Prop 5.1.27: -equiv. coh. sheaf on .
(i) There exists a -equiv. coh. sheaf on s.t. restricted to equals to .
(ii) Let -equiv. morph. of equiv. sheaves. Then there exists extends .
byd用电怎么这么快qwq
麻了
Prop 5.1.28: smooth quasi-proj. -var. then any -equiv. coh. sheaf on has a finite locally free -equiv. resolution.
finite resolution 是好的()
根据 5.2.16 我们可以拉出来无限长 resolution of locally free coh. -equiv. sheaves
这个 finite 的性质是根据下面这个 Hilbert's Syzygy Theorem 保证的.
Thm 5.1.30: (Hilbert's Syzygy Theorem) Let be a smooth -dim. var, and an arbitrary coh. sheaf on . Suppose we are given any locally free resolution of of the form above, then the sheaf is itself locally free.
Remain 一个 5.1.27 的证明. 大致 sketch 一下:
首先, 设 normal, 于是根据 5.1.26 的证明, 我们可以考虑 为某个 -inv morph. 限制到 后的 coker., 其中 都是某个 f.d. -v.s.
这里, 对应到某个 sheaf 的 -inv. section, 而其在 上 regular. choose basis of v.s. 为所有 使得在这组基下的分量至少有一项具有 pole. 注意 是 的 divisor, 可以视为 , 其 regular 且 G-equiv. 因此给出了 -equiv. morph
于是, 考虑 为 的 coker. 由于 先知道 上与 一致, restriction 到 上恰为 .
对于 normal 的情况, 我们已经说明了. 现在考虑 normalization . 我们存在 on extend . 这里 . 于是, 定义为 subsheaf of as:
得证.
Remark: 他这里好多的 typo, 首先映射 一般不是 surj. 不该用双箭头, 其次 也不是正确的.
可能 Chriss 和 Ginzberg 也不想写了() 介绍工具确实不像介绍那种很 intriguing 的东西一样, 挺体力活的()
好消息是, 5.1结束了!
开 5.2