接下来是 tensor product
这个就很贴近于几何表示论的构造了. 考虑 -var. 我们考虑
这个 functor 是 exact 的. 那么这个诱导了
- 考虑 的 case, 这实际上给出了类似 intersection pairing 的结构! 考虑 embedding . 通过
我们给出了 bilinear 的 -mod homo. 这实际上给出了
注意这个实际上只给出了 smooth var. 上的构造. 于是我们给出了 一个 commutative associative -alg. 的结构.
-
with support 的 case. 这个case 就跟上面的比较类似. 对于 , 仍旧考虑 即可.
-
tensor. with a vector bundle.
对于 quasi-proj. -var. -equiv v.b. 有
是 exact 的. 于是诱导了
他在这里怎么又 typo 了..
那 pullback, tensor 搞定 (并非完全搞定) 了, pushforward 这一块呢?
对于 normal morph of quasi-proj, 你当然希望去考虑
but, 这有一个问题, 对于一个一般的这样的函子,
这可不一定是 exact 的. 为此, 考虑 . , . 考虑
, "extend by zero".
.
.
这个构造实际上就是来自 Hartshorne II Ex.1.19. 在这种情况下, 去考虑 $f_\ast $ 在 处的 stalk, 我们得到
这当然不是 exact 的. 因此, 这个函子不是 exact 的.
那咋办呢? 我们定义
这下根据代数几何II的知识, 这个就 exact 了.
现在考虑
在 5.1.26(其实还要加上27) 中, 我们 identify 了 . 于是根据 Quillen 的一个 result 我们有 l.e.s
接下来是 equiv. descent. 他开头讲的这一系列大概就是关于 Zar. top 和 etale top 的一些哲学. 感觉暂时跳了问题也不大.
给定 principal -bundle. 我们有 canonical equiv
(SGA, 要求 flat). 于是其给出 canonical gp. isom
这就是 equiv. descent.
考虑 closed alg. subgp. . 考虑 orbit space of 那么有一个结论是 也有自然的代数簇结构. 这个并不 trivial. 你可以看到 的 case 就是喜闻乐见的 . 我们先承认这个事情.
我们有, induces , 而这是一个 fibration with fiber . 于是 fix , 对于 -equiv. sheaf 我们可以考虑其 restrict 到 上, 得到 . 我们诱导了 exact functor
你可以想象这是一个 equivalence, 因为你可以往 上 induce 这个 bundle. 具体的构造则是这样的: 考虑
首先把 -equiv 的 拉到 上, 得到在 -diag. 作用下 equiv. 的 . 然后通过 descent 得到 上的 Coh. bundle.
而由于 自然地左作用在 上. 我们得到的 是 -等变的. 于是 descent 得到的自然也是 -等变的. 而根据 direct check, 这么定义出来的 Ind 确实是 res 的逆.
再写一页, 把 Reduction 写了, 然后给 Convolution prod. 开个头, 就可以再搞一篇上去了.
全部弾きない！
不知不觉又拖了一天orz
入党还是太麻烦了
现在我们要考虑 , 对 -equiv. sheaf, 给出了 . 我们的 Claim 是, 这是一个 isom.
注意, 上有 -equiv 结构. 于是我们有 isom.
by 仔细的 check, 你会发现他是 well-def. 的
于是, 我们有
而, induce 了 by . 我们希望说明这是一个 isom.
这个要用到一个叫 Thom isom 的 material. 具体来说就是, 考虑 . -space by conj. 我们取 central series of
于是, -stable. 有 non-canonically trivial fibration with affine space. 于是根据 Thom isom,
然后归纳就做完了.