有
Lemma 5.1.16: Any connected linear algebraic group contains a Zar. open dense subset isom. to $\mathbb{C}^r\times \mathbb{C}^\ast $.
这个思想就是取 . 证明需要 reduce to s.s. case 和具体的讨论.
Prop 5.1.17: 是 上的 line bundle, 于是存在 使得 是 trivial bundle.
利用 5.1.16, 有
于是我们需要证明, 每一个 irr. 的 都给出 内的 finite order element.
这些非零的 elements, 是 codim 1 的 irr comp. 根据 Bruhat, 他们是 . 于是 由 中的 simple roots 给出.
但, 我们有熟知的结论, 对于 s.s. 以及 simply connected, 对应的 , 取 simple rational -mod with highest weight , 取 中 -steable 的 line (也就是 lowest weight vector), 那么 就是 . 于是 principal, .
现在考虑 finite covering , 于是诱导了 natural direct image , 且, 根据 Hartshorne,
这便说明了 finite order 的性质.
现在我们要给出 Thm 5.1.9 的证明.
考虑 , set , 有, 存在 ,
考虑 trivial bundle, 有 isom
于是我们希望给出 上的等变 -bundle 结构. 记 的 total space with the zero-section removed. 于是上式诱导了 , the following diagram commute:
Furthermore, restricted to 与 同构, 作为 上的 principal $\mathbb{C}^\ast $-bundle. 于是, 我们诱导了 $\phi:X\to \mathbb{C}^\ast $, .
我们用 代替 , 上述 comm. diag. 仍然成立. 在这种情况下, 与 $\mathbb{C}^\ast $ 作用交换. 于是我们诱导了 $f:G\times G\times \mathbb{L}\to \mathbb{C}^\ast $ by
而, by 5.1.15, 我们可以选出 s.t.
再结合 推出
也就是
于是 给出了 上的 -action, 且其作为 在 上作用的 lifting.