这个世界这个大学圈子怎么这么乱..
对于搞研究的人来说, 研究本身才是一切的厚势.
莫忆魑魅魍魉忆江南.
事已至此, 不具体介绍一下 Borel-Moore 的 Convolution prod. 恐怕不行.
对于 , 考虑 proj, , 定义 convolution prod
这便诱导了
通过 Poincare dual. transp. to homology case.
而一个 alternative defn 是这么给出的: 对于
-stable closed subvar, 定义
这似乎就是一个比较好的convolution 定义(). 在这里, 如果
proper, 对于 . 有 well-def. 然后, 你应该相信求积分 morelessly 就是 push forward, 而 proper 性保证了 $(p_{13})_\ast $ well-def. 于是定义
这便给出了 convol. map
后面跟了个 Remark. 是说对于 finite sets, , 那么考虑 sheaf on , 考虑
则有
其中后面的卷积, 就是来自
接下来这个 lemma 是说, 如果 -equiv. closed embedding. 那么
-equiv. closed embedding. 有
Lemma 5.2.23: The following diag commutes:
我们要考虑的 case 是 , . 在这种情况下 , 给出了 compactible 的 -action on and .
在 setting 下, clearly . 于是 conv. map
well-def. 而, 由于 smooth, 我们可以定义 tensor prod. 你可以简单地验证 tensor prod. 和 convol. prod. 是等价的(Cor 5.2.25.)
然后是 Duality Pairing, 首先, 考虑 proj. -var. 由于 proj. of to a pt. 于是 proper -equiv. 于是 direct image (也许有点像 evaluation? 不知道)
-linear map. 于是, 我们可以 introduce bilinear pairing:
注意右侧那个是 -理论中的 tensor prod.
更一般的, 对于 s.t. compact, 但 本身不一定, 我们同样可以 def. .
考虑 , , 非空 compact. 于是 , 而 corresp. conv. map:
而, 他的具体计算算这边第一个非平凡的命题?
Lemma 5.2.28: , , then
where 作用在 上.
这个是 projection formula 的推论. 上过几何表示论I的应该不会对 projection formula 陌生. 但是在 CG setting 下的 pf 还是要等 5.3 开()
本章应该以两个 Thm 收尾. 其一是 5.2.30 的 Proj. Bundle Theorem. -equiv. -diml (alg.) vector bundle on a -var. , associated proj. bundle with fiber . For each there is a natural -equiv. line bundle on whose germs of sections are the germs of reg funct. on that are homog. of deg. along the fibers.
Thm 5.2.31. For each , 由 自由生成 over . 也就是说, 任意 都 has a unique repn of the form
在 5.6 会给一个 modern proof. 虽然我不一定到时候会写就是了.
5.2 也拖得有点久了 sad.
不知道 5.3 会怎么样. 我还是很想在9月前把 5.x 都清了的.