-theory!
quasi-proj. var. linear alg. gp. 定义 cat. of -equiv. sheaves on . 他是 abelian cat. 定义为这个 cat. 的 Grothendieck group.
我们本书中只考虑 . "higher K-groups" 以后再学()
有, , 于是 Groth. gp. of . 有 canonical embedding
熟知, 对于 reductive,
是一个 isom. 而对于一般的 linear alg. gp. 其 image 是所有在 unipotent radical 的 coset 上为 const. 的 .
Remark 5.2.3 是说, 是有 simple repn. 自由生成的. 而对于 unipotent gp., 其唯一的 simple repn 就是 . 于是 . 但和上面比较, 显然 会大得多().
是 -var. 且 在 作用下 trivial. 于是
在 underlying var. 上的 operation, 我们可以搞出来 -gp. 上的 morph.
5.2.5: Pullback.
对于 -equiv. morph of -var.
(i). open embedding, or more generally, flat. exists mapping
induce by exact pullback
5.1.27 implies 了, 这样的 $f^\ast $ 是 essentially surjective 的. Moreover, cat. 可以看做是 商掉所有 supported on 的 sheaves.
(ii) -equiv. closed embedding , 依然定义 pullback map
不妨 为 的 difining ideal. . 我们可以定义
先写两页() 下次再施工.
back
但我们这么定义, 他并不是 exact 的. 我们只能给他 corres. 一个类似 一样的东西, 在 homolgical alg. 的背景下, . 所以我们可能要考虑 perverse sheaf 这样的东西. 但是暂时还不会()
我们考虑 pullback 的时候, 除了 5.3 中会考虑的 flat w.r.t. 的情况, 其他时候我们都会假设 smooth quasi-proj. -var. closed -equiv. embedding. 于是, 根据 5.1.28, 有 finite -equiv. locally free resol. of
于是, 我们 identify cohomology sheaves of complex. 于是
在 Homological alg. 的角度来说
而, 函子是 symmetric w.r.t. two arguments 的. 因此实际上我们可以选取 的 resolution , 而不是 来进行计算.
(iii) Restriction with supports.
考虑 closed embedding, possibly singular -stable subvar. 我们希望定义 restriction with support map
咕咕嘎嘎
一个长在 上的 sheaf , 我们先把他推到 上 , 然后考虑 (ii) 中定义的拉回
每一个 term 都 supported on , 然后根据 (ii), 他们都是 module.
但我们希望给出来的是一个 里的东西. 换句话说, module. 我们知道后者 ( ) 是前者 ( ) 的闭子集. 我们会考虑 在 中的 annihilation ideal , 由于各项 supported on , 有 . 于是我们可以考虑 grading
and finally put
这便给出了我们需要的 restriction.