【终极一战】代数tv vs CG3.7, 你们知道吗
3.7! 终于可以给第三章收尾了
第一个 Thm 3.7.1 说的就是, 对于我们熟悉的 efh setting, 对任意 nilp. 总可以让他 fit 到某个 里. 这就是所谓的 Jacobson-Morozov Thm.
Prop 3.7.3: 对上述的 is determined uniquely up to conj. by an element in .
然后, 由于中间的都比较耳熟能详, 跳到 3.7.6:
Prop 3.7.6: Any nilp. orbit is a -stable subvar.
Furthermore it is a symplectic cone-var. w.r.t. the canonical symplectic structure on a coadjoint orbit and the vector field .
由于 在 上的作用是 , 我们给出 -stable. 我们有, 处的 symplectic 2-form is given by . 而, 乘以 保持 不变, 记这个映射诱导的切空间上映射为 , 不难验证
对 求导, 我们得到 , 即证.
后面那些关于 highest weight (也许, 他有些地方用的是 lowest weight, 他诗人握持) 的论断同样可以跳过.
Thm 3.7.13: Let set of root vectors that corres. to simple roots, then is regular.
现在我们更几何地来看, 考虑 standard slices.
对于 nilp. -triple. 考虑 为 对应的 -conj class. . 于是
Prop 3.7.15: The affine space is transverse to in . Moreover, we have .
这 transverse 大概就是, . 而后面那个?
在 上定义 作用: .
不难验证这确实是一个 作用. 而, 由于 上的元素在这个作用下都拥有 strictly positive integer, 有
但, 在如上定义的作用下 stable. 因此, 若 非空, 他在 附近任意去心邻域内也应当非空. 但这就和 与 transverse 矛盾. 有点意思.
这松岛辉空打的跟一投注一样, 张本美和也有福了[捂脸]
但, 该说不说, 松岛这场打的还挺好的
虽然还是大突破口
Cor 3.7.19: The fibre is a homotopy retract of .
仍旧, 考虑 上定义 作用: . 由于 stable under 与 , 这个作用保持 不变. 同样的, 由于 -equiv, 不变.
注意 在 的作用下的像是 , 即使在 的作用下 不变, 但 是会变得. 因此这并不能直接定义 retract. 我们要小小地 modify 一下:
在 上定义vector field given by 这个 -action, 然后考虑 是 上的一个Euclidiean distance (其实, 为了是 , 这里应该选取其平方). 然后, 把他 lift 到 . 现在, 考虑 , 其上的 flow 就给出了一个到 的 retract.
现在要研究 , 有 . by 的 setting 我们可以给出 的 grading. 有 , 取 , 那么有
考虑 , corre. unipotent normal subgp, 有
Lemma 3.7.21: (i) .
(ii) is stable under the adjoint -action. Moreover, is a single orbit.
(i) 是 triv 的. (ii) 由于 , 的作用的 orbit open dense, 但由于 幂零, orbit 又是closed. 因此是 全体.
剩下的工作就是着手证明 3.7.3 和 3.7.1 了. 大概 sketch 一下:
-
和 two triple, then . 这是因为 , 但却拥有负特征根 w.r.t. h.
-
对于 和 , 有 . 于是 , 存在 , .
于是 3.7.3 证毕.
现在对于 , 记 为 的 simultaneous centralizers. 有
Prop 3.7.23: is a maximal reductive subgp. of and is the unipotent radical of .
首先, reductive 的 centralizer 是 reductive. 因此 reductive. 其次, reductive gp 在 affine space 上的作用总有不动点. 于是对于 reductive, 在 上的作用有不动点. 于是 by conjugation 我们不妨设 fix . 那他当然也得 fix . 因此他 fix .
他在这里写了一个 basical 的方法说明 . 不难, 跳了()
recall
Lem 3.7.24: The subspace is stable under the adjoint -action and the -orbit of is Zar-open in .
这是因为 . 而 , . 然后根据代数群的知识即证.
本章的最后一步, 就是证明 3.7.1. Bourbaki 给出了一个比较 tricky 的证明. 而我们这个证明与之不同.
记 .
Step 1: 对 归纳, reduce 到 只包含 nilp element 的情况. 取 abstract Jordan decopm. s.s. 于是, . proper reductive 且 , 完成 reduction.
Step 2: 说明存在 , . 实际上, 3.2.16 implies 了这个. 我们有 , 有, . 于是存在 , .
Step 3: 说明存在 . 这实际上就是说 , 也就是说 . 也就是说
根据 Jacobi identity, 不难说明 . 于是 是一个 Lie subalg. 根据 Step 1, 不妨设 nilp. solvable. 于是 by Lie's Thm, 我们可以将 中元素同时上三角化 w.r.t. . 而 中元素 nilp. 主对角线元素自然全为 , 得证.
下班!