上回书我们从 sheaf-theoretical 的角度构造了 在 $ H^\bullet(M_x)$ 与 在 的作用. 我们 recall 我们也介绍了 上的 作用. 现在有一个关键的问题是, 我们通过嵌入诱导的
并不自然是一个 -模映射. 因此, 我们希望 sheaf-theoretically 地来描述 convolution action on homology of , 使得他 compatible with .
对于 locally-closed embedding, cohomology sheaf. 于是我们得到了其上的 -action. 关键点是, 这个诱导了 -action on stalk . 我们实际上有 . 于是根据 Thm 8.6.7. 的一个改版可以得到 -module structure on compatible with -module structure on .
相似地, 我们也可以得到 版本.
(写到这里我突然意识到前面那章好像很多 我都写的 . 受着吧)
于是, 是一个 -mod 映射. 对于 irrep. of , 我们考虑 isotypical component , 其上自然继承 -mod structure.
现在, write , -orbit, 根据 8.5.16 我们知道他作为线性空间同构于 . 我们有
Lemma 8.6.17. 如上定义的线性空间同构 intertwines the -action on both.
实际上, 我们有 . 这个定理的证明还是颇为巧妙的, 首先利用 decomposition Theorem, 然后分析 degree 应该就能做出来.
Prop. 8.6.21. For above, the convolution action of identified by by 8.6.7. and by 8.5.16.
于是
Thm 8.6.22. Every -mod. is simple if nonzero. Furthermore, any -mod is isom. to for some .
对于 and , , , 我们有 KL multiplicity formula.
Thm. 8.6.23. The multiplicity of in the composition series of -module and is given by
由 Decomposition Theorem 我们直接得到
然后分析一下 filtration 即得.
最后, 我们介绍 contravariant 性质: 对于 f.d. left mod over with anti-automorphism. 我们定义 contragredient left -module as $H^\ast $ given by action .
对于 , switching two factors 给出了其上的 anti-automorphism 结构. 那么我们有
Coro. 8.6.25. -mods. and are contragredient to each other.
本章将所有 cdot 改为了 bullet.
定理 8.6.7 的证明懒得写了qaq