Kunneth Formula!
对于 , write 其 diagnal 的 structure sheaf. 特别地, 对于 smooth compact, 我们还有 convolution map .
Theorem 5.6.1. linear alg. gp., smooth proj. -var. TFAE:
(a) The natural map
is isom. for an arbitrary -var. .
(b) The class belongs to the im. of for .
(c) f.g. proj. -mod, and for any -var. , the hom. induced by conv. is an isom
(d) f.g. proj. -mod, f.g. proj. -mod. s.t. and moreover, the bilinear mapping
is non-deg. in the sense explained below.
给出这个定理的证明是这一章要做的全部事情.
为此, 我们再引入 4 个 intermediate steps()
(1) -mod , the map
is surj. and in (a) is surj.
(2) (i) f.g. proj. -mod, and
(ii) (1) holds for all and
(iii) surj.
(3) (i) proj. (ii) surj. (iv) surj.
(iii) surj.
(4) (i) proj. (ii) , (iv) surj.
(iii) surj.
我们的前进路线是
第一步 是容易的: 取 即可.
: 记 , 一方面讲, 另一方面讲, 通过 5.2.28 的证明, 有
于是
因此 成立. 而, 取 , 回忆 , 对 , 有 . 于是, 对于 ,
$(1)\implies (2): $ (ii)(iii) triv. 对于 (i), 我们需要说明 exact. 显然, 这个只需要 check right exact 的部分, 也就是说, . 而熟知 是 right exact 的. by (1) 和如下 comm. diag. 就做完了.
那还说啥呢, 取 就完了呗. 这个条件也太性情了.
考虑 surj, 如果 , 那么 . 于是, . (iii) 只需注意 factor through 即可.
首先我们有, proj. proj. 且,
于是, 有
因此, 我们有
通过 5.2.28 的计算, 我们可以看出 . 而, surj. 因此 都是 isom, 得证.
$(c)\implies (a): $ f.g. proj. implies 了 . 而 5.6.3 中的 comp 是 identity 的性质是由 5.2.28 给出的, 依然成立. 因此 isom isom.
: 有 , 因此 proj. . 而 nondeg. 则是因为 (4)(ii).
: nondeg. 加上 f.g. proj. -mod. 我们可以构造 . 于是 . 于是 surj. 而 proj., same rank 加上 surj. implies 了 isom. 得证.