Chern Character!
closed subvar. of a smooth quasi-proj. var. . 我们要定义 homology Chern char. map for the non-equiv. -theory
这个涉及到 ambient var. . 给出这个定义不是一个简单的事情()
第一步: -vector bundle on . 我们忽略 上的 complex structure, 记 vector space of -forms of deg. , 记 v.s. of -valued -forms, i.e. -sections of . 由于 partition of unity, 我们可以构造出 smooth connection on ,
而这个 connection 可以 canonically extend to . Furthermore, 通过一些简单的计算可以得到
是 -linear 的. 也就是说, given by , . 称作 connection 给出的 curvature-form.
于是, cohomology Chern char. of 定义为 de Rham cohomology class
定义 homoloy Chern char. by Poincare dual.
第二步: 对于 open dense subse of . 我们有 restriction map 给出了 de Rham complexes
这个 morph. 是 inj. 的. 于是我们可以将 视作 的 sub. 现在, 定义
有
于是给出 cohom. 的 long exact seq.
有, 根据 de Rham Thm, and . 于是, 根据 derived cat. 中的 mapping-cone construction, 有
Prop 5.8.5. There is a natural isom.
so that the long exact seq. becomes the std. cohom. exact seq. of .
接下来, 如下定义 multiplication:
对于 为 的一个 representative, 以及 同样的 setting. 满足 是 cocycle i.e. . 现在, 定义
可以验证, 这个定义是良定义的, 且
此外, 这个 multiplication 在 5.8.5 那个 mapping-cone 的定义下定义的 是相同的.
第三步: 明天再修()
开修! Chern-Simons 楼.
open dense subset of , two -v.b. on , v.b. isom of the restrictions to .
我们需要对这样的 , 给出一个 in s.t. . with connecting homo.
现在, 取 explicit representative of these class, 并选择 为 上的 connection. 于是, 在 上, 有
with -valued -form on . 取 其对应的 curvature form, 有
注意 同样构成 上的 connection, 有, 两个不同的 connections 给出了 相同的 Chern char. form.
实际上, 这个 是可以被计算的. 考虑 , natural proj, . 于是, 在 上, 定义
于是, Chern-Simons form 由 给出. 这里的 $\pi_\ast $ 表示 intergral of Chern char. form along the fibers of .
对于 , 定义
有
Lemma 5.8.9. There are
现在, 由于 , 我们有
现在, 由于右侧式子能扩展到整个 上, 是一个 cocycle. 于是, 我们定义 为该 cocycle 对应的 cohomology class.
事实上, 这个 的选取与 无关. 这是一个微分几何的结论.
第四步: 对于 closed alg. subvar. of a smooth quasi-proj. var. and coh. sheaf of -mod. 记 embedding, 有 finite locally free resol.
set , let . Put , 我们有, 在 上,
由于 都是 locally free 的, 这些 exact seq. 都是 split 的. 因此, 我们有 isom. of -v.b.
现在, set . 有
我们给出
于是, 根据 Chern-Simons construction, 我们给出
现在, 令 定义为 在 下的像. 于是可以证明 与上述 construction 的选取无关.
这样, 我们便完成了这纷乱复杂的构造.
Remark (5.8.12) 是说, 对于 smooth, 我们可以在 上找出 free resol.
在这种情况下, 取 , , 这么定义出来的 Chern class 与 , 下定义的 Chern class 是一致的.
Prop. 5.8.13. The Chern char. map has the following properties,
(i) Normalization: For any complex alg. var. , we have , where a sum of hom. classes of degree .
(ii) Additivity: For s.e.s. of sheaves on ,
we have . Hence 给出了 homo. of abelian gps .
(iii) Restriction to an open subset: Zar. open subset of a smooth var. , closed subvar. induced embedding. Then the following diag. commutes:
Theorem 5.8.14. (Riemann-Roch for singular var.) given a comm. diag.
where the morph is proper, and are smooth, one has
这里的 , 指的是 Todd class. 他是原代数簇切丛的陈类.
Prop. 5.8.15.
(i) The homological Chern char. map 与 -theory 中的 specialization 交换, 以及
(ii) closed subvar. of a smooth var. . Then the following diag. commutes:
horizontal maps given by tensor prod. with supports in -theory and the intersection pairing in homology respectively.
注意, 我们并没有 claim homological Chern char. 和 convolution 之间的 commute 关系. 实际上, 5.8.14 表示了, 我们需要 "correction factors" involving Todd classes. 在这 chapter 的末尾, 我们会讨论这个.
不管怎样, 5.8 竣工了().