Localization!
这个 localization 更接近于传统的, Atiyah 的 loc. 对于 , 考虑 identity comp. 如果 是 abelian reductive 的, 我们可以写出 ext. . Moreover, 我们总可以适当地选取使其 split. 因此 .
现在, 考虑 representation ring. fix 我们可以考虑 所有 funct. not vanish at . 于是考虑
以及, 对于 -mod. , set . 于是我们有 exact 的 loc. functor .
现在, 取 complex var. alg. v.b. over with linear -action on along fibers. The -action gives a weight space decomp. Since locally trivial s.t. -action 的变化是连续的. 以及, 的 weights form a disc. set. 我们有 "global" v.b. direct sum decomp.
sub. bun. formed by weights that occur in the decomp. of .
非常喜欢北大数学院的推送: 数学里有多少谱
现在, 将 视为一个 trivial -action 的 -var. 于是
对于 , 有
Prop 5.10.3. Assume that in the above setup so that . Then, for any , multiplication by induces autom.
on the localized -gps.
我们有两个证法:
其一: 第一步, 对于 trivial bundle , 若 . 有 . 由于 , . 于是 在 中可逆. 当然成立. 而对于 , 有 .
第二步, 对于 , 这个 by Step 1 就做完了. 现在, 我们可以考虑 Zar. open dense subset s.t. trivial. Set , 我们有 long exact seq.
首先, localization 是 exact 的, 所以我们可以先做一遍 localization. 接下来相信大家都知道我们要做什么了: 5-引理.
其二: 对于 . 考虑 trivial bundle of the same dim. as . Set . 根据 5.9.5 我们有 nilp. 而, 可逆. 得证.
Cor. 5.10.4. alg. v.b. with zero section . abelian reductive gp. acting identically on and linearly along fibers of , as above. Assume futher that is an element whose fix-pt. set is the zero section, i.e. . Then the pushforward
is an isom. of the localized -gps.
这是因为, 由于 $i^\ast $ 是 Thom, 因此 isom (5.4.21), 只需要验证 $i^\ast i_\ast $ 是 isom. 而根据 5.4.9, 其是乘以 .
现在是 Localization Theorem! 对于 . 对于 , write fixed pts. 我们称 Localization Theorem holds for if the induced map 是一个 isom. 由 Thomason 的结论, Loc.Thm. 对任意 -var. 成立. 在这里, 我们只证明如下的 partial result
Theorem 5.10.5. (Localization Theorem for Cellular Fibrations) abelian reductive gp, -equiv. cellular fibration. If the Loc.Thm. holds for , then it holds for .
Proof: 考虑 , 有 . 于是, 我们需要说明 和 都 induce 了 localized equiv. -gps. 上的 isom.
第一步: 对于 , 这是一个 isom. 对于 over , 他 restricts to a cellular fibration over , where .
Remark 一下, 后面的这个当然也是一个 cellular 的分解, 因为 , 在 fiber 上拥有和 一样的 fiber. 于是当然是 locally affine 的.
我们用归纳说明
然后就是老熟人了: Thom:
加上五引理:
第二步: 说明 是一个 isom.
首先, 注意一个事情, 就是对于 , 对于 , 我们实际上可以考虑 与 . 这实际上指出了一个事情: 同样也是 affine 的. 于是, restrict to conn. comp. of , 我们会 assume 这些 affine bundle 是 const. rank 的. (btw, 他这里 Restricting typo 了, 不提一嘴我浑身难受).
现在, 考虑 v.b. with linear -action associated to the affine bundle . 于是, 由于 在 的作用下, 拥有不为 的 eigenvalue. 于是, 有
splits. 于是, 我们给出了 , with 构成一个 zero-section.
现在, 我们有 natural action map . 而, 给出了一个 canonical isom.
于是, 给出了一个与 拥有相同 fiber 的 v.b. Moreover, 由于我们有 zero-section, 且其恰为 -fixed pts. 根据 5.10.4, 我们有
是一个 isom.
那么, 最最后一步相信你已经完全猜到了: 没错, 就是 induction+5-引理.
下班!