这个定理, 结合 Lemma 5.4.9, 可以直接看出对于其 zero-section , $i^\ast $ 为 Thom isom $\pi^\ast $ 的逆.
接下来是 Convolution action. Setting 是 -theory 给出了 -linear 的 map
或者等价地
s 现在我们给出 -equiv. v.b., 我们可能想搞一个 v.b. 的版本, 但由于 不一定 compact, 上述构造中的 proper condition 不一定成立. 因此, 搞不出来这个 action.
现在, 我们要考虑 natural proj. 考虑 closed -stable var. , 我们希望 足够好使得 是 proper 的. 这样 convolution 和 closed embedding 就诱导了 well-def. 的 morph. . 于是就给出了
而, 与此同时, 根据 zero-section , , 有
Lemma 5.4.27: The follow diag. commutes
考虑如下 diag.
其中中间的方块是一个 commutative diag. 于是根据 5.3.15, 我们诱导了右下的(自然整个的) commutative diag.
而原 lemma 等价于说明
根据 convolution 的定义, 其等价于
而
注意 其实就是 . 于是根据 proj. formula
命题得证.
现在, 取 , , , 我们有
Cor 5.4.34: assume , 则 5.4.27 转化为如下 comm. diag.
(哪有 后面还写俩元素的啊..)
而, 我们注意 Borel-Moore 拥有如下性质: 在 locally-trivial oriented -v.b. 对于 zero-sec. 有 $i^\ast ,\pi^\ast $ 实际上给出了 mutually inverse isom. of Borel-Moore hom:
(2.6.42)
因此, 我们有 commute diag. (Lemma 5.4.35)