【最终一战】代数tv v.s. Chapter 5!
函子性!
Lemma 5.11.1. reductive gp, smooth complex alg. var. . fixed pts of is a smooth subvar. of .
这个的证明是比较黎曼几何的: 取 maximal cpt subgp. 由于 在 中 Zar. dense, 有 . 对于 , , 我们可以取出一个 -inv. metric on . 现在, 考虑 -equiv. 的 local diffeom., -inv. in 一定是一个 subspace, 于是 submfd.
现在, 对于 , 称 是 -reg. 的, 如果 . 这是 r.s. element in maximal torus 的 generalized.
对于 , 考虑 normal bundle . 有 -action on induces 了 linear -action along fibers of . 也就是说, 有
且, -reg. iff .
现在, 定义
Cor 5.11.3. natural inclusion. Then the composite is given by mult. by . Moreover, if -reg. then the induced map of the localized gps is an isom.
对于 -reg. 我们有 evaluation map , . 于是, 我们给出了 的一个 -diml 表示 . 注意他实际上也是一个 -mod.
而, 记 . 定义 为如下映射下 的 image:
也就是说, 对于 . 对于任意 weight , 我们有 complex . 于是, 根据 的乘积性质, 有
于是, 根据 5.11.3, 可逆. recall , 我们定义 by:
特别地, 其 factor through .
Lemma 5.11.5. -regular, assume that the loc.thm. holds for , then gives an isom
Pf: 我们有 isom:
tensor by 得到
于是, conbined with $i^\ast $, 有 . 于是, 由于 是 mult. by , composing with 得到 mult. by .
于是, $(i_\ast )^{-1}=(\lambda_a)^{-1}\otimes\operatorname{ev}\circ i^\ast $.
现在是, (an analogue) the Lefschetz fixed point formula. fix abelian red. gp.
Theorem 5.11.7. -equiv. proper morph. of smooth -var. Assume that is both -reg. and -reg. and that the loc.thm. holds for and . Then the following diag. commutes:
为此, 考虑
上面那个 square 显然交换. 而下面这个 square 则是由于 $\operatorname{res}_a^{-1}i_\ast $, 然后考虑 diag.
即可.
现在, 取 smooth comp., pt. 于是, 对任意 -reg 以及 any equiv. v.b. , 有
where 表示 作用在 上的 trace.
现在, 考虑 -var. closed, -stable. 在这里, 并不 assume smooth.
对于 , both and -reg. 考虑 morph. as, 对于 images of into . 有 invertible. 于是, 定义 as the comp.
注意, 这个定义是 asymm. 的, 如果我们在最后考虑 , 那这个 map 就是 .
现在, 考虑 以及 . 我们有
Theorem 5.11.10. commutes with convolution.
证明, 是 direct computation.
Fix . classes in defined above. 有
而, . 于是,
根据 proj. formula,
根据 Thm. 5.11.7,
现在, 我们介绍一下 Chern char. 和 convolution 的关系. 这个实际上是 modeled by Riemann-Roch.
对于 , 取 , 有 . 取 Todd class of a mfd. , 我们定义 Riemann-Roch map by
同样的, 注意这里的 asymmetry.
Theorem 5.11.11. (Bivariant Riemann-Roch Theorem) The map comm. with convol.
这个的证明和 的证明类似. 都是 direct compute. 跳了()
接下来, 就是在下一章经常会用到的 "extreme" case of the Bivariant Riemann-Roch Theorem. 仍旧, fix . Recall -gps 上的 -filtration, 有
Prop 5.11.12. For any , convolution in -theory takes into , where . Furthermore, the following diagram commutes
有, -theory conv. factor through tensor prod. with support (他这里又 typo 了)
and the proper image $(p_{13})_\ast $. 有 $(p_{13})_\ast $ preserves -filt. 而, first claim follows from SGA.
对于 diag. 的 commutativity, 取 a sheaf on with -dim. supp. 那么, 根据 5.9.13 我们知道
根据 5.11.11, 有
得证.
至此, Chapter 5 收工.