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这两天有些事情实在太乐了, 导致某人又去贴吧冲了几天浪.
这种狗咬狗的剧情太符合我的世界观了
但不管怎样, 总还是要回归现实的()
这个小盒才是你永远的家
现在我们要介绍 Orbital Var.
recall 一下, 对于 conn. s.s. , 可以定义 , , 以及, 熟知的
现在, 考虑 , 注意第三章中 的记号表示实维数, 而在这里指 cpx. dim. 以及 isotropy gp. , , 以及 irr. -mod. 以及 embedding 给出 . 有
Thm. 6.5.2. (a) For , the map is inj.
(b) The morph. comm. with -action from the conv. -action.
对于 (a), 我们知道 irr. 所以我们只需要知道这个映射非零就行了. 但, 对于 comp. Kahler 流形, sum of cpx. subvar. 给出了一个 non-zero homology class, 于是 integral over such classes of volume form arising from the Kahler form strictly bigger than , 这个映射非零.
(怎么是个纯几何的证明.. 难以满意)
接下来, 将 写作 . 于是, 对于 zero section, 有
于是, 我们 induce 了
comm. with conv. 但, 熟知 $i_\ast $ 拥有右 inv. $\pi_\ast $. 于是我们有
comm. with inv. 现在, 注意 都是紧的, 他们的 BM homology 和 ord homology 相等. 得证.
现在, 由于 上有一个 positive-def. 的 -form, 我们有 by 3.6.12. 我们在上面说明了 . 下面这个命题需要用到 intersection cohomology. 会在 8.9 中给出证明.
Prop. 6.5.3. The -mod. does not occur in for every and there is a single copy of that mod. occuring in .
现在, fix . , . 于是我们有 fibration
而, 另一方面, 我们有 , 这个 fiber over 则 identified with . 于是, 对于 , ,
也就是如下的 diag. ( )
考虑 Borel subalg, regular locus for the corresp. intersection .
非常遗憾, 我们现在要填坑了. 这是 1.6.6. 的内容了. 我们慢慢来说.
最初的 Setting 是 symplectic cone var. i.e. simplectic mfd. with a v.f. on s.t. .
Ok, 在豆包习题课上, 我们算过这个.
cone. subvar, if tangent to at any smooth pts of .
现在, 设 family of lagrangian cone subvar of param. by , 这个 equiv. to give such a family
以及 proj.
现在, 我们要引进
Thm. 1.6.6. (Resolution of Lagrangian families) Suppose that is a symplectic cone var, mfd, a submfd. s.t. projections are smooth fibrations with surj. diff. Assume moreover, the fibres of the proj. are lagrangian cone subvar. Then there exists an immersion making immersed coisotropic subvar. of . Moreover,
(a) The following diag. comm.
(b) , where and are the canonical -forms on and respectly.
(c) The -foliation on coincides with the fibration .
这个 canonical -form 是指的 -form s.t. . Cone var. 上, 利用魔术公式 (同伦公式, 确信), 这个一定存在.
而, -foliation, 则是指的 上的一个 foliation s.t. , equal to the tangent space at
这个定理的证明就先不写了, 是一个几几又何何的证明. 我们 back to 6.5, 他应用过来就是:
Prop 6.5.6, (1) is a coisotropic cone-subvar. of ;
(2) The -foliation on coincides with the fibers of the map .
现在, take Borel subalg with nilradical . irr. comp. of . 在 Killing form 的角度, 我们可以 naturally identified . 于是 identified with a subset in . 于是, 接下来的 result almost immediate from def.
Lemma 6.5.7. (a) is an irr. comp. of , moreover,
(b) The cotangent bundle proj. induces a -equiv. isom. .
现在, 我们要利用 的两个 proj, 来 parametrize 的 irr. comp. 了, 黑子气不气.
我们有, acts on the set of irr. comp. of . Further more, 给出了, for any irr. comp. of , 是一个 simgle -orbit in the set of irr. comp. of
Claim 6.5.8. The assignments and 给出了 natural bij.
现在, set , 我们希望建立如下双射
首先, 我们有 . 于是, irr. comp. of bij. with -orbits on the set of comp. of by right translation.
而, 我们可以写出
于是, 我们有 . 但, fibration with fibers equals to , is in particular conn. 于是, 的 conn. comp. of are in natural bij. with conn comp. .
今天先写到这里()
好, 上班!
考虑 closure of in , 的 irred. components 被称作 orbital var. associated to the orbit .
我们可以将 orbital var. bij. 地 corresp. to 的 -orbits. 我们有如下结论:
Lemma 6.5.12. All orbital var. associated with have the same comp. dim. .
这是因为我们有 proj. . 而这个 proj. 在 处的 fibre 是 . 我们有 . 而根据 3.3.25, 我们有 , 得证.
现在, 我们有一个 Steinberg var. , 由于 , 有 . 我们将 实现成了一个 -mod. 而本身 是通过 的 irred. comp. span 出来的. 我们有
Prop. 6.5.13. -mod. isom. to the irred. -mod. in the way that the fund. class of each comp. of goes to the sum over the -orbit. of the irr. comp. of under the isom.
Locally, take nbhd , . 取 , 我们有 . 于是我们有
-
injective map .
-
有, .
由于 的 irrcomp. over 可以 restrict to a -orb. on the set of , 我们有
- .
根据 conv. 的性质, 我们这个映射实际上确实是 -morph. 于是我们可以借助 来进行考虑.
考虑 . 我们有 . 让前者可缩, 我们得到 bij.
, 以及 . 虽然这个有点道理, 但他还是惊天符号乱用..
现在, 考虑如下 diag.
由于 始终成立, 熟知 Kunneth formula 始终成立, 我们有如上 diag. 交换. 于是, 左侧和右侧的 action 是相等的. 得证.
这就是所谓的 "the Kunneth formula for convolution" argument, 我们以后也许还会用到它.
Remark 6.5.15 是说, 注意 cone-subvar. 的 fundamental class 是 nonzero 的: 是 的 non-zero class, 这是因为根据 Thm 6.5.2(a) 的证明, 由于 是 的 cellular fibration, inj. 于是 non-zero.
Take , 于是 . 考虑 zero section, Poincare duality on a smooth cpx. var. 给出了 maps
现在, 再复合上 , 我们得到 . 再复合上 , 我们得到
在 Chapter 7 我们会说明这个 map 和 -action comm., hence inj. Furthermore, 在下一章, 我们会给出另一个 interpretation of this map in terms of equiv. Hilbert poly.
下班!
这篇是从 10.2 开始写的.
写的也太慢了qaq
这段时间要处理的实在太多
好累qaq