故事的最末 站着 Kostant 和他的 Thm.
我们有 . 根据 Bour. 的定理, 我们有 是一个 free polyn. alg with generators. Take . 考虑
我们有 是一个 level set. Kostant 给出了如下三大件:
Thm. 6.7.2. (Geom. properties) is a surj. with -diml irr. fibers. Moreover, 拥有如下性质:
(i) 是 -stable closed subvar. of consisting of finitely many -conj. classes.
(ii) regular, 中存在唯一一个 dense conj. class of dim. .
(iii) s.s. element in form a conj. class , 它拥有这些 conj. classes 中最小的维数, 也是 中唯一闭的 conj. class.
(iv) 的 zero-fiber 是 nilp. cone.
(v) 是一个 simple conj. class iff 他包含了一个 regular simple element.
现在, view as a homo. (虽然我没有完全理解这个 homo..), 这个 homo 有, for , is generated by .
Thm. 6.7.3. (Algebro-Geom. properties) For each , 有
(i) A polyn. vanishes on iff , in order word,
(ii) The ring is normal.
(iii) The natural restriction map is an isom.
考虑 -harmonic polyn. on , by adj. action 我们给出了 和 -mod. 的结构.
Thm 6.7.4. (Alg. properties)
(i) The alg. is a free -mod; furthermore, multiplication map 给出了 -equiv. 的 graded -mod. isom.
(ii) For any , -mod. is isom. to a direct sum of f.d. simple -mod. If is such -mod. then it occurs in with multiplicity , with zero-weight space in .
这是几个漂亮的定理, 我们只简单带一下他的证明.
672:
首先, 由于我们有 proj. , 对任意的 -inv. 的 分属于某个 Borel subalg. 的 Cartan part 与 nilp part. 于是有
于是, . In particular,
而, 我们 claim,
这是因为, 我们对 作 Jordan decomp. , 有 conj. to some element , 于是 给出 , 于是也就 -conj. 因此 w.r.t. conj. by .
对于 regular, 我们现在有 . 而 r.s elements 给出了 的一个 open dense subset, 这给出了 的 generic fiber 拥有 dim. .
我们现在说明 的 fibers 都拥有相同的 dim. 首先, special fiber 的 dim 总是 generic fiber 的 dim, which equals to . 于是对任意 , .
另一方面讲, 由 的 surj, 我们得到
但, , 我们有
现在, 的 -orbit 1-1 corre. 到 的 -conj. class. 特别地, 他是 finite orbits 的, 因此 拥有 finite -orb. 因此 上也拥有 finite -orb. 而, 显然是一个 closed class, 因此 也是 的一个包含于其余任意 conj. class 的 closure 的 conj. class, 因此是 minimal 的. (i) 得证.
而, 对于 open dense,
也是 dense 的 of dim. , in particular, open dense. 显然其包含了所有的 regular elements for all other conj. class has lower dim. 特别地, 他是极大的. (ii) 和 (iii) 得证. 而, single conj. class iff s.s. 这也就是说 . 这也就是说, i.e. regular. (v) 得证. 而 (iv) 则由 Prop. 3.2.5 直接推出. 这样便完成了定理证明.
673: fix , 由 . 我们给出了 alg. homo.
Claim 6.7.9. 如上 alg. homo. 是 inj. 的, 且 是 free graded -module of rank .
这是因为我们有 . 于是, 我们得到 inj. 而, 根据 6.1.2, 如上的 comp. map. 给出了 上的 free -mod 结构.
于是, 对于 , 我们有 是 的 rank free mod. 于是 Cohen-Macaulay.
现在, 取 homo. generators of . 于是,
Claim 6.7.10. linearly indep. at any regular pt. .
这个定理我们(或者说, CG上)决定后面再证. 于是, 这个根据我先前未提到的一个不太难的定理 (2.2.11), . 这个给出了 6.7.3.(i) 的证明.
现在, 考虑 的 conj. class, 其有自然的 symplectic mfd. 结构. In particular, 其有 even cpx. dim. 于是, 根据 6.7.2, 我们有 总拥有 even dim, and more over, 其存在 smooth open subset s.t. . 得证.
674: 根据 6.7.9., 我们有 free graded -mod. 于是, 6.3.3. qpplied to 我们得到 (i).
而对于 (ii), 首先我们有, 对任意 ring homo. , 我们有 direct sum decomp. . (i) 给出了
由于 corresp. to ideal . 我们有
也就是说, -equiv. isom. of v.s. 由 673(i), . 于是 上的 -mod. 结构与 之选取无关.
因此, 不妨 r.s. 我们有, 这个 conj. class isom. to as -space. 于是 . Moreover, 根据 Bourbaki, proj. 给出了 w.r.t. right translation. 而 Peter-Weyl 有一个 alg. analogue, 给出了 作为 的 two-sided regular repn. of , 拥有decomp.
因此,
得证.
现在, 我们还剩 Claim 6.7.10 没证. 但我们还有一些 Cor. 要玩()
Cor. 6.7.12. A conj. class closed iff it consists of s.s. elements.
Cor 6.7.13. is a free mod. over its center.
这是因为, 根据 PBW, 有 , 而根据 6.7.4(i), 前者是后者的 free mod. 最后根据 (被跳过的的) 2.3.20, 我们得证.
Cor. 6.7.14. is normal.
这是由 6.7.2(iv) 和 6.7.3(i)-(ii) 给出的.
Cor. 6.7.15. Springer resol. 给出了 alg. isom. .
沟槽的ai幻觉...
首先, 记 为 的 factor. ring. 于是根据 是 birational 的, 有 . 有
而, 由于 proper, 是 coh. 的 -mod. 因此 是 的 f.g. mod. 根据 normal 的整闭性质得证.
Cor 6.7.16. For any , conn.
这个(才)是根据 Zariski Main Theorem 给出的, 说, proper bir. normal. 于是 一定是 conn. in the Zar. top.
Proof of 6.7.10. . 熟知 isom. to alg. freely generated by homogeneous inv. poly. of degree .
Prop. 6.7.17. The following identity holds
这是由于, 考虑 Poincare series, 我们有
于是, 将 视作 free -mod, 我们有
而, 根据 6.4, , 而后者拥有 Poincare series . 得证.
记 .
Cor 6.7.22. .
直接考虑两边的最高次项即可. CG 上给出了如下的另一个 purely alg. 的证明. 他要用到如下三个引理.
Lem. 6.7.23. For f.d.v.s. , 我们有如下 formal power series identity
这个应该不用证明了吧, 哈哈, 大家线性代数学得都挺好的.
Lem. 6.7.24. Given a f.d.rep. of finite gp. 考虑 subspace of -inv. 有
这个应该不用证明了吧, 哈哈, 大家表示论学得都挺好的.
于是, 有
Lem. 6.7.25. f.g. 有
现在, 我们给出 proof of 6.7.22.
首先, 对于 , 拥有 个 eigenvalue , if . 而在其他情况下, 不被 整除.
于是,
于是, .
于是, 有 .
求一次导并取 得证.
沟槽的 typo...
来, 最后一步!
取 bilinear inner prod. 我们可以将其 induce 到 exterior power $\Lambda^i \mathfrak{g}^\ast $ 上. 现在, 定义 $\ast :\Lambda^i\mathfrak{g}^\ast \to \Lambda^{\dim \mathfrak{g}-i}\mathfrak{g}^\ast $ given by
定义 $\Omega_{alg}^\cdot(\mathfrak{g})=\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\otimes \Lambda^\cdot \mathfrak{g}^\ast $ poly. diff. forms on , 我们实际上给出了 -mod isom .
我们给出 skew-symm. bil. form
于是 实际上给出了一个 polyn. diff -form on . 考虑 . 有
Lemma 6.7.30. regular. iff .
fix , 将其视作 $\mathfrak{g}^\ast $ 中的元素, 我们有 by coadj. action. 考虑 我们有 . 于是, 有
而, 根据 symplet. form 的性质, 我们有 iff has dim . 而这个和 regular 等价, 得证.
现在, 回到 的世界, 我们有.
Thm. 6.7.32. Up to non-zero const. we have
由于 -inv., 这个只用对 说明即可. 首先我们 claim, 对任意的 , 包含于左右两 forms 的 rad.
对于右边的来说, 这是显然的. 而对于左边, 有 . 我们有
.
对于 reg. 我们有 , 且 . 于是左边的也得证.
接下来, 考虑 , 两侧都是 skew-linear form on . 于是, 其都 desends to -form on for . 于是我们只用在 上证明我们需要的
即可.
那么, 对于 上的两式, 显然其等于 , where polyn., volume form ind. by . 那么我们记两侧的 分别为 与 , 我们只需要证明 .
首先, 一个简单的计算得到 在其上的作用满足
接下来, 注意 . 对于 , 这个实际上就是因为
而左边的呢? 是 of degree 的 poly. 因此 也是. 于是, 根据
Lemma 6.7.35. Any -anti-inv. poly. of of deg. is of the form , where .
为此, 只需注意到对任意 , vanishes on , 根据唯一分解得证.
Finally!
现在是北京时间 2025.11.1 13:25, 也是美国洛杉矶时间 2025.10.31 22:25.
代数tv还是在 11 月前结束了 CG6!