Harmonic Polynomial!
对于 , 考虑 alg. of const. coeff. diff. operators on , 一个 comm. alg., 于是, sub alg. 我们有一个以后不会用的 fundamental result:
Thm 6.3.1. For any reductive , is finitely generated.
记 为所有 const. term vanishing 构成的 ideal. 我们称 是 -harmonic 的, 如果 .
记 全体 -harmonic poly. 有如下结论
Thm 6.3.3. Assume reductive and free graded -mod. Then the multiplication map in gives the -equiv. isom. of graded v.s.
现在, 考虑 $SV,SV^\ast $ 对应的 symm. alg. 我们有自然的
此外, 通过 pairing
我们诱导了
而这个对于 , 我们诱导了 在 $V^\ast $ 上的作用, by . 于是, action on gives rise to -action on .
现在, 对于 如上的 alg, 记 graded subalg. of -inv, augmentation ideal in . 最后, , .
Lemma 6.3.7. A polyn. -harmonic iff i.e. , .
Lemma 6.3.8. 是一个 free -mod. iff 是一个 free -mod.
这个是 follows from unitary trick. 是一个纯线性代数的东西. 他的核心思想就是 给出了一个 skew-linear 的 isom. $V\simeq V^\ast $.
Lemma 6.3.11. There is an equality of Poincar series
这是因为我们有 . 于是,
于是, 我们有
Prop. 6.3.13. There is a -stable graded direct sum decomp.
首先, 我们要验证 . 这是因为我们有 . 其化为
于是, 考虑 , 熟知其 admit 一个 transport s.t. . 而, 在这种对应下, 我们需要证明
而这个是通过如上定义的 pos. def. 的 pairing 给出的.
现在, 考虑 . 保证了这个映射是 inj. 的. 于是 .
Proof of Thm 6.3.3. that is .
我们对 degree 进行归纳, 对 , 他是 triv. 的. 考虑 . 对于 , 根据 6.3.13 我们可以写出 .
而, 由于 , . 我们总可以把 写成 的形式. 于是 , 我们证明了 surj.
接下来证明 isom. 部分, 为此我们只需要证明 即可. 而
熟知 free graded -mod, 对某个 subspace, 有 . 于是, 我们有
而,
于是, .
也就是说, . 得证.
现在, 考虑 , 有
Prop. 6.3.24. f.d. subspace of . Moreover, there is a -mod. isom. .
为此, 我们可以 put by 6.1.2. 于是, .
以及, 如下有趣的结论 holds for all finite gp, not only Weyl gp.
Prop. A polynomial is -harmonic iff the mean value property holds, i.e.
有, 是由 张成的. 于是, 是由 张成的(?). 因此 则是由 张成的. 而,
然后根据 scalar over , 我们得到 mean value cond. holds iff . 得证!