遗憾的消息是, 我们要仿照 3.4 的做派, 把 7.3 这几个 main theorem 跳过了.
一个原因是, 我不太喜欢 Specialization 这一套. 另一个原因是, 我们直接从上面提取出来所需要 thm 的就行了.
对于 -spaces, 我们称这个映射是 sign-commuting 的, 如果
Recall Poincare duality
这个映射当然不是 comm. with -action 的. 比方说, -action 不保定向, 因此当然不喝 intersection pairing 交换. 更确切地说, by , 也就是说, Poincare duality 是 sign-commutes with -action 的.
这段怎么写的这么别扭,,
但是, 对于 , 在其上的 (右) 作用是 holomorphic transf. 因此保定向. 所以自然地 Poincare duality
与 -action 交换. (这里为什么不是 ? top dimension)
接下来考虑 , .
Lemma 7.3.31. 记 , 有
(i) Thom isom. sign-comm. with -actions; and so do its inverse .
(ii) Thom isom. comm. with -actions; and so do its inverse .
(iii) Homological Chern char. comm. with -action; sign-comm. with -action.
(iv) Cohomological Chern char. comm. with -action.
证明可以几何地写出:
(i) 只需对 $i^\ast $ 说明即可. 为此, 注意 $i^\ast $ 实际上就是与 zero-section 作交. 我们需要说明 与 的 conv. 是 sign repn. 且 与 的 conv. 是 triv. repn. 对于前者, 他是通过 3.6.17. 对于后者, CG 上的做法是利用 逼近 , 而 上的作用是保定向的.
(ii) 的证明关键步骤藏在了前文证明大定理之中. 考虑一个 , 他说明与 structure sheaf of 将 映到 . 而当然 会将 映到 于是得证. (但我懒得check他的argument了;w;)
(iv) Direct by 6.4.15, (iii) 的 部分 direct by (iv) 和前文关于 sign-comm. 的论证. 的部分则直接 factor through (i)(ii) 即可.
好的, 现在我们有 了. 但我们自然有一个 given by . 根据 3.6.17, 这两个在 上的作用实际上是一样的. 当然在 -theory 上并不显然: 有
Lemma 7.3.32. arising from conv. with expressed in terms of the std. -action by
其实就是那个 dot action.
Proof:
由 5.2.23 给出左半边, 由 7.3.31(ii) 给出右半边. 从而我们得到了
而在 5.4.9 我们证明了 $i^\ast i_\ast $ 是 given by tensor prod. with . 由于我们可以 view ,
有
由于 integral domain. 我们最终得到