-harmonic poly. and flag var.
根据 Harish-Chandra 给出来的 pov. 我们知道 canonically , 于是 . char. corresponding pt. of .
于是, 给定 , 考虑如下 eigenvalue problem
考虑 v.s. of holom. fun. on . 根据 [St2] 的结果, 我们有 .
对于 linear-function, 考虑 corresp. exp. fun. (他不是 alg. 的, 只是 holo. 的). 有 . 于是 是上述 eigenvalue prob. 的一个解当且仅当 是 这个 -orbit 中的一个点. 于是, 包含于 .
对于 regular, linearly independent. 有 . 于是根据 [St2] 的结论, .
那 degenerate 的情况呢? 对于 , 显然 Harmonic poly. 是一组解, 而在 6.3 我们证明了 . 因此 .
现在, 对于 -orb. , 对于 , 其 Taylor expansion at the origin has the form , .
Prop. 6.4.4. (1). 对于 Taylor expansion, lowest among the integers s.t. , then -harmonic polynomial.
(2) 对于 complex number. lowest among the integers s.t. , then -harmonic polynomial.
这个是因为 的作用一定会降低 degree. 然后对 diff. 后的结果做 Taylor exp. 就做完了.
现在, 我们考虑一个 decreasing filtration of the v.s. . with .
Prop. 6.4.5. (1) 考虑第一项 non-zero term of 给出了 -equiv. 的 embedding .
(2) 对于 regular, 上述映射是一个 isom.
(3) 任意 harmonic poly. on may be written as for appropriate choice of coeff. .
都不难 ().
现在, 对于 torus corresp. to Lie alg. 我们有一个并不 alg. 的 exp map . 现在, 取 rugular functions on , formal power series alg. on , 我们有一个 pullback .
不难想象后者比这个映射的 image 大得多. 同样取 和 alg. of -inv. 于是我们有一个自然的映射 和 , given by evaluation at and . 取 kernel, 得到 . 最后, 在 中我们有理想 .
有
好, 现在我们有
Lemma 6.4.7. The above maps induce -mod. isom.
最左边的 是已经证过的, 由 . 而同样地, 我们有 . 而, 根据齐次性, 我们可以将这个 isom. 拓展到 上, 从而得到
现在, 我们要考虑 alg. -theory. 为此, 我们现在 assume 所有 -gp. 都是 complexified 的, . 以及, 我们有自然的 . 以及
于是, 我们得到 isom.
于是, 对 考虑 6.2.3(6), 我们有
于是, 我们得到了, 与黎曼曲面中 Harmonic funct. 到 cohomology 的 argument 相类似的 Borel isom. : (pentagon)
也就是说,
注意两侧都拥有自然的 grading, 我们会说明 double degree: .
现在, 我们要考虑 在 和 上的作用. 对于 projection
其为一个 上的 affine bundle. 于是 induces 了 isom. on cohomology.
以及, 在 -theory 的角度, 根据 Thom, .
我们知道 在 上有一个左乘作用. 于是, 我们有 comm. diag.
于是, 由于顶部的 arrows 和 $p^\ast $s 都是 -mod. maps, 底部的 arrows 也都是 -mod. maps.
现在, 我们需要更加明确地给出定义 时的 pentagon 给出的那些箭头的描述. 首先, view as lattice in $\mathfrak{h}^\ast $, 于是 由
给出. 于是 pentagon 的右侧 mapping 由
给出, 其中 first Chern class.
Lemma 6.4.18. 上述 map 是一个 -equiv. alg. homom.
这个映射直接给出了他是 -equiv. 的, 而 alg. homo. 则是因为 , 于是其给出 .
于是,
Prop 6.4.19. (1) All the maps in Pentagon are -mod. isom.
(2) The map takes to .
根据 Lemma, Pentagon 所有的映射都是 -equiv. 的, 所以 (1) 得证. 而, 考虑 power series, 我们得到
而, 这个 equn. holds for all , 于是
将第一个映射 term by term 地映到第二个映射, 也就是说, , 得证.
现在, 考虑 , representative. 取 spanned by exponential functions a holom. funct. on . 现在, 考虑 linear map by
现在, recall on increasing filtration by dim. of support, 与 on decreasing filtration by order at . 我们有如下的结论:
Prop 6.4.20: If regular, then the above defined map is a -equiv. isom. Moreover, it is ``Poincare dualizing", i.e. for any , one has
这个是一个很有趣的命题, 也是这章的一个核心内容. 给出这个命题的证明, 标志着这章的结束.
现在, 考虑 by , 我们考虑如下的 -equiv. diag. of natural maps (Railways)
那么,
我们 verify the following.
Claim 6.4.23. For any , we have .
于是, induce 了 graded map
于是, 再加上如下 Claim.
Claim 6.4.24. is an isom.
完成了证明.
现在, 我们给出两个 Claim 的证明. 如下:
Proof of Claim 6.4.23:
注意 . 于是我们有
由于在 Railways 中, , 我们需要说明的也就是
现在, 对于 , .
现在, 我们通过 写出每一项的 . 由于 是有限的, 我们有 (注意原书这有个不太影响的 typo), 于是 .
于是, , 得证!
Proof of Claim 6.4.24:
对于 graded 的版本, 我们有
而, 对于 维的 map, 这个映射就是 . 而, up to scalar, 这个映射就是 6.4.5.(ii) 中给出的 isom.! 得证.