接下来是 Steinberg Var. 上的等变 -理论. 我们考虑 acts on , 他, together with dilation, 诱导了 $G\times \mathbb{C}^\ast $ 的作用 by .
熟知 , 其上依然 admit $G\times \mathbb{C}^\ast $ 作用 by . Moreover, 其和 moment map 是 commute 的.
现在, 取 $G\times \mathbb{C}^\ast $ acts diagonally on 与 . 于是, 是 $G\times \mathbb{C}^\ast $-stable 的.
现在, 对任意 $G\times \mathbb{C}^\ast $-var. maximal torus in , $A\subset T\times \mathbb{C}^\ast $ closed subgp. Fix s.t. 是 -reg. 的, 也就是说, .
现在, 考虑如下六条性质:
(1) free -mod.
(2) spanned by alg. cycles, cf. Def. 5.9.6, and the homological Chern char. map gives an isom. .
(3) The Localization Thm. holds for i.e. the localized push-forward map gives an isom.
(4) The following natural map is an isom.
(5) free -mod.
(6) The canonical map an isom.
我们本章的目的是证明如下五个 $G\times \mathbb{C}^\ast $-var. 满足 (1)-(6). 我们首先说明
Thm 6.2.4. The varieties satisfy (1)-(4).
对于 , 熟知 Bruhat 实际上给出了 的 Cellular fibration . 于是 (1),(4) holds by Cellular Fibration Lemma 5.5.1, (2) holds by Thm 5.9.19, (3) holds by the Localization Thm of Cellular fib.
对于 , 实际上 也给出了 cellular fib.
对于 , 我们有其 , 其中 为其上的 -diag. orbit corresp. to . 而, 的 isotropy gp. 为 , 我们有 .
而, 根据 Bruhat, . 有
而, 注意 和 都是 v.s. 于是 也构成 cell.
于是, 我们同样可以利用 cellular fibration. 与此同时, 也因此拥有了一个 cellular fib. 的结构. 得证.
而对于 , 我们考虑 . 我们可以给出一个 strata with . 而, 考虑 到第二个 的 projection, 有
Lemma 6.2.5. For any , the restriction is an affine bundle with fibre over a pt. .
于是, 对这个 cellular fibration 运用之前的论证, 得到 也满足性质 1234.
注意有 是 -mod. with basis
In particular, 对于 , 其将 打到 -submod. of spanned by . 也就是说,
Cor. 6.2.7. injective.
Thm. 6.2.8. (5) holds for and .
: 有
而 是一个 free -mod.
: direct by Thom.
: 取 , 这是一个 cellular fibration over , 于是, direct from 5.5.1.
: direct by Thom.
: 利用 6.2.4 的 fibration , 然后 5.5.1.
Cor. 6.2.9. The free -mod. has rank .
free -mod. with rank . (6.2.6), then free -mod. with rank (6.1.2).
Thm. 6.2.10. satisfy (6).
也就是说, 对 $A\subset G\times \mathbb{C}^\ast $ closed, , .
注意由于 , 这个映射 factor through . 而根据 (4), isom. Apply to 6.1.22 中的 isom. , 得证.
从5.x最初的定义应该就能看出来了, 他就是为这个 setting 做的准备.
怎么 也转义不出来 kk.
我看这 KaTeX + markdown 是欠宫了啊.