先借一下代数几何的tag()
新开这个系列, 主要是为了督促自己看CG.
CG总共486页, 算上前面几章不用看的大概还剩400页, 以半个小时一页的速度的话, 每天花4h, 只用50天就能读完🤔
话虽如此, 在3/18和z老师聊完天之后, 这一个月大概看了一小章🙂
太忙了qwq
s.s.李代数和flag var.
代数群与s.r. elements
从3.1开始吧, 这一张之前云过一部分, 看起来问题不大()
有限维半单连通复李群, 李代数. 考虑 是他的 Borel 子群, 也就是说, 极大可解子群. 其上的极大 torus, unipotent radical 使得 . 还有 为 的李代数.
先是俩代数群的定理.
Lemma 3.1.1: Any orbit of a unip. gp. acting on an affine var. is closed in the Zar. top.
Lemma 3.1.2: Any Borel subgp equals to its normalizer i.e. .
以及
Fact & Defn 3.1.3: any . is regular if .
里面的 s.s. 和 nilp. elements 以及 Jordan Decomp. 就略了, 反正是博资考内容, 太熟知了()
记 为里面的 s.s., regular elements, 他只是一个set.
Lemma 3.1.4: fix ,
(a) any elem. in is s.s. and any s.s. element of is -conj. to an element in .
(b) The centralizer of a s.s. regular element is a Cartan subalg.
(c) If s.s. reg. element then .
(d) is a -stable dense subset of .
以及 (d) 的加强版本
Lemma 3.1.5: 上存在 不变的多项式 s.t. . 也就是说, 是一个在 Zar.Top. 下开的 affine subvar.
好吧, 从证明来看, 我们应该假设 是有限维的, 不过反正一般说 s.s. lie alg 都得是有限维的()
这个证明大概就是说, 取 Jordan decomp. , 根据 (b), reg. 推出 . 然后考虑 的特征多项式 . 由于 是 s.s. 的, reg. 等价于说 在 处恰有 阶零点, 也就是说 .
现在考虑 为 的所有 Borel sub.alg. 那么
通过一些代数的讨论你可以知道他是闭的, 所以也是 proj. 的.
根据 Lemma 3.1.2 以及所有 Borel subalg. 在 作用下可迁的性质, 我们可以给出同构
Cor 3.1.6 就是一个很直接的结论, 懒得切英文了()
(a). 在 作用下不变等价于 .
(b). 在 向量场作用下不变等价于 .
3.1.7 Bruhat decomp.
从名字上看是跟 Weyl gp. 有关的结论.
首先根据上面那个映射我们给出了
其次, 我们要给出
他这里的符号不好(), 实际上他这里的 是 的(Borel)李子代数. 然后同样通过一些代数的讨论你可以知道他是bij. 最后, 记 , 考虑
于是我们给出了映射
Theorem 3.1.9: All the maps above are bij.
他这里Remark了一下, 说最左边和最右边的map与 和 的选取无关. 虽然, 怎么可能无关, 集合 就不会与 无关.
不过, 对于 以及 , 我们确实可以 induce 对应集合自然的映射(), 然后通过一些代数的讨论你可以知道他是交换的.
中间的和右边的映射是bij是triv的. 我们只需要证明最左边那个就行. 他选择证明前两项的复合是bij.
考虑 . 他希望用 Bialynicki-Birula的结果:
Lemma 3.1.10: (i) Cartan subalg, Borel subalg. Then any Borel subalg. containing has the form , .
(ii) The -fixed pts. in are in natural bij. corresp. with .
(i) 是简单的, 而且 (i) (ii).
然后, 我们说明每一个 恰包含了一个 -fixed pt.
或许我们要 "review" 一下 Bialynicki-Birula Decomp.
对于 光滑复proj.(射影?好像是这么翻译)代数簇, 其上包含了一个 作用, 那么
Lemma 2.4.1: For all , mapping has a limit of . Furthermore, the limit points are fixed pts. of the -action.
这个实际上就是利用 complete 的性质. 以及,
Cor 2.4.2: The fixed pts on a proj. var. is always non-empty.
对于 fixed pt set, 假设他是有限的, 对任意 , 我们可以定义 attracting set
然后! 请回忆 ODE 中关于不动点方面的内容, 从哲学上, 你可以相信这样的事, 对于 , 可以让 作用在 . 我们有
有
Theorem 2.4.3:(B-B Decomp.)
(a) The attracting sets form a decomp. into smooth locally closed alg. var.
(b) There are natural isoms. of alg. vars. which commute with the -action.
真是分分又析析啊.
现在取一个 s.r., 他给出了一个 .
于是我们可以考虑 ,
其中 上的 action 为 . 在此, 我们选取 使得 .
那么, 在 作用下不变, 根据 3.1.6, 当且仅当 , 再根据 3.1.4, . 于是, -fixed points 的数量等于 -fixed pts 的数量, 根据 3.1.10, 他们是 .
现在, 根据 2.4.3, 有
而现在我们应该做的是研究 . 通过一些讨论我们可以得出 . 于是
而, 对于任意的 以及 , 时 . 这意味着对任意的 , . 也就是说, .
然后, 根据上面那个 的等式, 我们得到 的微分是一个满射. 因此 是 内的一个开集, 而根据 3.1.1, 他也是闭集. 因此他是一个连通分支. 由于 是一个吸收集, 他当然要连通. 因此 .
当然, . 因此我们得到 -轨道恰好就是 , 证毕.
Cor 3.1.12: 对任意 Borel subalg 的选择, -轨道给出了 的 cells 分解, 称为w.r.t. 的 Bruhat cells.
Plucker Embedding of the flag var.
如果你上过代数几何I, 也许你会记得 Gr 的 Plucker 嵌入. 现在我们希望给出来 到某个 proj. var. 的嵌入. 这段写得也太晦涩了()
对于 irr. 的 -表示 , 对任意 Borel subalg. , 有唯一的一维不变子空间 .
我们现在想要选取一个 "non-deg" 的 , 使得保证 不变的 -子代数是 . 根据 Hum, 只要最高权是 "non-deg" 的, 就是 nondeg 的. 于是,
给出了一个嵌入. 以及,
(他没证这个, 直接引用的文献, 他是人握持.)
我怎么随手一打就是俳句()
3.1.14 case.
熟知(lemma 3.1.15) 对应到 complete flags in .
他希望证明 这个 orbit space 同构于某个 维线性空间, 然后叽里呱啦说了一大堆. 其实就是考虑 , 牛顿多项式.
然后考虑映射
现在考虑
那么 就是一个一维表示, 取 为其特征根. 我们给出
那么, 我们显然有这个交换图表:
与这个Claim 3.1.19:
For any the set consists of pts, amd there is a an. free action of the symm. on making it a principal homog. -space.
感觉都是 trivial 的().
awc, 怎么这么难读kk