却只让我看你最后一眼
仔细地看了看, 好像上一篇的那些东西有一些更好的来源: Mitchell Rothstein 的 Sheaves with connection on abelian varieties 和它的 Correction. 此外, 这些东西应该本身也来自 Laumon-Fourier, G. Laumon 的 Transformation de Fourier g´en´eralis´ee 与 Transformation de Fourier g´eom´etrique 但我不会法语:(
今天要找的东西是从 Stacks 上面抄过来的. 14.34 Standard Resolution.
Start by $\mathcal{A},\mathcal{S}$ two categories with $V:\mathcal{A}\to\mathcal{S}$ and its left adjoint $U:\mathcal{S}\to \mathcal{A}$. Then we have two natural transformations
\[d:U\circ V\to \operatorname{id}_{\mathcal{A}}(\text{counit}), \eta:\operatorname{id}_{\mathcal{S}}\to V\circ U(\text{unit}).\]我们要考虑 $\operatorname{Fun}(\mathcal{A},\mathcal{A})$ 这个 category. 考虑如下 setting of simplicial set:
\[X_n=(U\circ V)^{\circ(n+1)}=U\circ V\circ U\circ \cdots\circ U\circ V.\]以及, set $X_{-1}=\operatorname{id}$. counit 结构便给出了 $X_\cdot$ 上的 simplicial 结构, by
\[d^n_j:X_n\to X_{n-1},s^n_j:X_n\to X_{n+1},\]\[d_j^n=1_{X_{j-1}}\star d\star 1_{X_{n-j-1}}, s^n_j=1_{X_{j-1}\circ U}\star \eta \star 1_{V\circ X_{n-j-1}}.\]以及 set $\epsilon_0=d:X_0\to X_{-1}$.
Lemma 34.2. 如上 $X=(X_n,d_j^n,s_{j}^n)$ 给出了 $\operatorname{Fun}(\mathcal{A},\mathcal{A})$ 上的 simplicial 结构, 而 $\epsilon_0$ 则给出了 $X\to X_{-1}$ 的 augmentation.
Lemma 34.3 在如上 setting 下,
\[1_V\star \epsilon:V\circ X\to V, \epsilon\star 1_U:X\circ U\to U\]are homotopy equivalences.
现在, 考虑 $\mathcal{A}$ 为 $R-\operatorname{Mod}$ 或者 $A-\operatorname{Alg}$, 我们考虑其到 $\operatorname{Set}$ 上的自由-遗忘伴随, 我们得到的是, 对于 $R[M]$ $R$-spanned module
\[X(M)=\left(\cdots R[R[R[M]]]\overset{(3,2)}{\leftrightarrow}R[R[M]]\overset{(2,1)}{\leftrightarrow} R[M]\right)\]augmentation towards $M$, and $A[E]$ the polynomial ring,
\[X(B)=\left(\cdots A[A[A[B]]]\overset{(3,2)}{\leftrightarrow}A[A[B]]\overset{(2,1)}{\leftrightarrow} A[B]\right)\]augmentation towards $B$.
于是, 如下diagram 是一个 homotopy equivalence:
在 additive 的范畴里考虑这些. 就给出了所谓 standard resolution.
cg8 在路上了, 不要急
让我猜猜下一期会是什么? 也许是 extended TFT?
不知道.