你知道范畴是一个什么东西吗？

范畴 (category)

一个范畴 (Category) 由以下数据构成:

对象 (Objects) 的类 $\text{Ob}(\mathcal{C})$.
态射 (Morphisms) 的类: 对任意两个对象 $A, B \in \text{Ob}(\mathcal{C})$, 有一个集合 $\text{Hom}_{\mathcal{C}}(A, B)$, 其元素称为从 $A$ 到 $B$ 的态射 (或箭头) .
复合运算 (Composition) : 对任意三个对象 $A, B, C$, 有一个映射: $\circ : \text{Hom}_{\mathcal{C}}(B, C) \times \text{Hom}_{\mathcal{C}}(A, B) \to \text{Hom}_{\mathcal{C}}(A, C)$, 将 $g: B \to C$ 和 $f: A \to B$ 映到 $g \circ f: A \to C$.
单位态射 (Identity Morphisms) : 对任意对象 $A$, 存在一个态射 $\text{id}_A \in \text{Hom}_{\mathcal{C}}(A, A)$.

这些数据必须满足以下两条公理:

结合律 (Associativity) : 对任意 $f: A \to B,\ g: B \to C,\ h: C \to D$, 有 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.

单位律 (Identity Law) : 对任意 $f: A \to B$, 有 $f \circ \text{id}_A = f = \text{id}_B \circ f$.

简言之: 范畴是具有复合运算和单位元的箭头的代数结构, 其中复合满足结合律.

群胚 (groupoid)

一个范畴 $\mathcal{G}$ 称为一个群胚, 如果它满足:

$\mathcal{G}$ 是一个范畴 (具有对象、态射、复合和单位态射).
对于 $\mathcal{G}$ 中的每一个态射 $f: X \to Y$, 都存在一个逆态射 $f^{-1}: Y \to X$, 使得
\[ f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X \quad \text{和} \quad f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y. \]

幺半范畴 (monoidal category)

一个幺半范畴是一个六元组 $(\mathcal{C}, \otimes, I, \alpha, \lambda, \rho)$, 其中:

$\mathcal{C}$ 是一个范畴.
$\otimes: \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ 是一个双函子, 称为张量积.
$I \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ 是一个对象, 称为单位对象.
$\alpha$ 是一个自然同构（结合子）
\[ \alpha_{X,Y,Z}: (X \otimes Y) \otimes Z \overset{\sim}{\longrightarrow} X \otimes (Y \otimes Z), \quad \forall X,Y,Z \in \mathcal{C}. \]
$\lambda$ 和 $\rho$ 是自然同构（左、右单位子）
\[ \lambda_X: I \otimes X \overset{\sim}{\longrightarrow} X, \quad \rho_X: X \otimes I \overset{\sim}{\longrightarrow} X, \quad \forall X \in \mathcal{C}. \]
当然他们还要满足一定相容性: 五边形公理和三角形公理.

范畴间的函子

函子 (functor)

设 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 是两个范畴.一个函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 由两部分构成:

对象上的映射: 对 $\mathcal{C}$ 中每个对象 $X$, 指定 $\mathcal{D}$ 中一个对象 $F(X)$.
态射上的映射: 对 $\mathcal{C}$ 中每个态射 $f: X \to Y$, 指定 $\mathcal{D}$ 中一个态射 $F(f): F(X) \to F(Y)$.

这两个映射必须满足以下两个函子公理, 以“保持范畴结构”:

保持复合: 对于 $\mathcal{C}$ 中任意可复合的态射 $f: X \to Y$ 和 $g: Y \to Z$, 有

\[ F(g \circ_\mathcal{C} f) = F(g) \circ_\mathcal{D} F(f) \]

(即, “先复合再映射”等于“先映射再复合”) .

保持单位元: 对于 $\mathcal{C}$ 中任意对象 $X$, 有

\[ F(\text{id}_X) = \text{id}_{F(X)} \]

(即, 单位态射映射为单位态射) .

在范畴的角度来讲, 构造一个函子总是容易的: 人们只需要 specify 他把某个 object 打到什么 object, 又把某个 morphism 打到什么 morphism 即可.

范畴等价 (equivalence)

一个函子被称作 Fully Faithful 的, 如果对任意对象 $X, Y \in \mathcal{C}$, 映射 $F_{X,Y} : \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X), F(Y))$
是双射.

一个函子被称作 Essentially Surjective 的, 如果对任意对象 $d \in \mathcal{D}$, 存在某个对象 $c \in \mathcal{C}$, 使得 $F(c) \cong d$ (即 $F(c)$ 与 $d$ 同构) .

两个范畴 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 称为等价的, 如果存在一个函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 满足:

$F$ 是 Fully Faithful；
$F$ 是 Essentially Surjective.

此时, 称 $F$ 为一个等价函子.

切片范畴 (slice)

设 $\mathcal{C}$ 是一个范畴, $X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ 是一个对象.定义切片范畴 $\mathcal{C}_{/X}$ (也称为 over category) 如下:

对象: 所有形如 $(A, f)$ 的有序对, 其中 $A \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$, 且 $f: A \to X$ 是 $\mathcal{C}$ 中的一个态射.
态射: 从 $(A, f)$ 到 $(B, g)$ 的态射是一个 $\mathcal{C}$ 中的态射 $h: A \to B$, 使得下图交换:
\[ \begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\ h\ } & B \\ & \searrow & \downarrow \\ & & X \end{array} \]
即满足 $g \circ h = f$.

对偶地, 我们也可以定义 under category $\mathcal{C}_{/X}$.

范畴的连接 (join)

设 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 是两个范畴.定义它们的联接 $\mathcal{C} \star \mathcal{D}$ 如下:

对象: 对象集是 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 对象集的不交并:
\[ \operatorname{Ob}(\mathcal{C} \star \mathcal{D}) = \operatorname{Ob}(\mathcal{C}) \sqcup \operatorname{Ob}(\mathcal{D}). \]
态射: 对于任意两个对象 $x, y \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C} \star \mathcal{D})$, 态射集定义为:
\[ \operatorname{Hom}_{\mathcal{C} \star \mathcal{D}}(x, y) = \begin{cases} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(x, y), & \text{若 } x, y \in \mathcal{C}, \\ \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(x, y), & \text{若 } x, y \in \mathcal{D}, \\ \{ \}, & \text{若 } x \in \mathcal{C}, y \in \mathcal{D}, \\ \emptyset, & \text{若 } x \in \mathcal{D}, y \in \mathcal{C}. \end{cases} \]
其中 $\{\}$ 表示恰好含有一个态射的单点集.换言之, 对于任意 $c \in \mathcal{C}$ 和任意 $d \in \mathcal{D}$, 存在唯一一个态射 $c \to d$, 记作 $\iota_{c,d}$.

这两个定义其实也许在普通范畴里用的会比较少. 但他在无穷范畴的领域里作用是很大的. 或许在普通范畴的领域里做这个而不放在无穷范畴的框架下, 就会显得有些别扭了.

范畴的局部化 (Localization)

设 $\mathcal{C}$ 是一个范畴, $W \subseteq \operatorname{Mor}(\mathcal{C})$ 是一类态射 (称为弱等价类) .范畴 $\mathcal{C}$ 关于 $W$ 的局部化是一个范畴 $\mathcal{C}[W^{-1}]$ 加上一个函子 $Q: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[W^{-1}]$, 满足:

可逆性: 对任意 $w \in W$, $Q(w)$ 是 $\mathcal{C}[W^{-1}]$ 中的同构.
万有性质: 对任意范畴 $\mathcal{D}$ 和任意函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$, 若 $F(w)$ 在 $\mathcal{D}$ 中为同构 (对所有 $w \in W$) , 则存在唯一函子 $\overline{F}: \mathcal{C}[W^{-1}] \to \mathcal{D}$ 使得 $\overline{F} \circ Q = F$.

即下图可换:

\[ \begin{array}{ccc} \mathcal{C} & \xrightarrow{\ Q\ } & \mathcal{C}[W^{-1}] \\ & \searrow_{F} & \downarrow_{\exists! \overline{F}} \\ & & \mathcal{D} \end{array} \]

构造我就不写了, 大家集合论基础都很好啊, 哈哈.

好吧, 必须承认这个构造不是 trivial 的.

不过这个不是讨论的主题 ()

松弛/反松弛 (Lax/Oplax) 函子

Lax 幺半函子

设 $(\mathcal{C}, \otimes, I, \alpha, \lambda, \rho)$ 和 $(\mathcal{D}, \boxtimes, J, \beta, \mu, \nu)$ 为两个幺半范畴. 一个从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的 lax 幺半函子 $(F, \varphi, \varphi_0)$ 包含:

底层函子: 一个普通函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$.
张量积结构映射: 一个自然变换
\[ \varphi_{X,Y}: F(X) \boxtimes F(Y) \longrightarrow F(X \otimes Y), \quad \forall X, Y \in \mathcal{C}. \]
单位元结构映射: 一个态射
\[ \varphi_0: J \longrightarrow F(I). \]

需要满足六边形和四边形的相容条件.

Oplax 幺半函子:

一个 oplax 幺半函子 $(F, \psi, \psi_0)$ 的定义结构与 lax 函子完全相同, 唯一的区别是所有结构映射的方向反转:

自然变换方向为:
\[ \psi_{X,Y}: F(X \otimes Y) \longrightarrow F(X) \boxtimes F(Y), \quad \forall X, Y \in \mathcal{C}. \]
单位元结构映射方向为:
\[ \psi_0: F(I) \longrightarrow J. \]
相容性图的结构也随之“翻转”（将 $\phi$ 箭头反向, $\psi$ 箭头正向, 并相应调整图表路径）.

称一个 lax/oplax monoidal 函子是一个 monoidal 函子, 如果 2,3 中定义的映射是 isomorphism.

范畴上不得不提的东西

“Fibration”

Grothendieck 纤维化 (Fibration)

设 $ p: E \to C $ 是一个函子.

Cartesian 态射: 态射 $ \phi: e' \to e $ 在 $ E $ 中称为 $p$-Cartesian, 如果对于任意 $ e'' \in E $、任意 $ \psi: e'' \to e $ 以及任意 $ h: p(e'') \to p(e') $ 使得 $ p(\psi) = p(\phi) \circ h $, 存在唯一态射 $ \theta: e'' \to e' $ 满足 $ p(\theta) = h $ 且 $ \psi = \phi \circ \theta $.即下图具有唯一提升:

Grothendieck Fibration: 函子 $ p: E \to C $ 称为一个 Grothendieck fibration (或纤维范畴) , 如果对于任意 $ e \in E $ 和任意态射 $ f: x \to p(e) $ 在 $ C $ 中, 存在一个 $p$-Cartesian 态射 $ \phi: e' \to e $ 使得 $ p(\phi) = f $.

直观上, 基范畴 $C$ 中的每个箭头都可以“拉回”总范畴 $E$ 中的对象, 且这种拉回具有最佳泛性质.

Grothendieck 构造

设 $ \Phi: C^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Cat} $ 是一个伪函子 (其中 $\mathbf{Cat}$ 是小范畴的范畴) .定义其 Grothendieck 构造为范畴 $ \int_C \Phi $ (也称为 Grothendieck 范畴) :

对象: 有序对 $(x, a)$, 其中 $ x \in \operatorname{Ob}(C) $, $ a \in \operatorname{Ob}(\Phi(x)) $.
态射: 从 $(x, a)$ 到 $(y, b)$ 的态射是一对 $(f, \alpha)$, 其中 $ f: x \to y $ 是 $C$ 中的态射, 且 $\alpha: a \to \Phi(f)(b)$ 是 $\Phi(x)$ 中的态射 (注意: $\Phi(f): \Phi(y) \to \Phi(x)$ 因为 $\Phi$ 是反变的) .
恒等态射: $ \mathrm{id}_{(x,a)} = (\mathrm{id}_x, \mathrm{id}_a) $.
复合: 给定 $(f, \alpha): (x,a) \to (y,b)$ 和 $(g, \beta): (y,b) \to (z,c)$, 其复合为:
\[ (g, \beta) \circ (f, \alpha) = \big( g \circ f,\; \Phi(f)(\beta) \circ \alpha \big). \]
(此处假设伪函子严格保持复合, 否则需使用给定的相容同构.)

存在自然的投影函子 $ p: \int_C \Phi \to C $, 定义为 $ p(x,a) = x $ 和 $ p(f,\alpha) = f $.该投影是一个 Grothendieck fibration, 且纤维 $ p^{-1}(x) $ 范畴等价于 $\Phi(x)$.

而, 上述构造给出了 Grothendieck fibration 与伪函子 $ C^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Cat} $ 之间的等价: 每个伪函子通过 Grothendieck 构造产生一个纤维化, 反之每个纤维化给出一个伪函子 (将对象 $x$ 映到纤维 $E_x$, 态射 $f$ 映到拉回函子 $f^{}$) .这一对应是范畴论中研究“依赖结构”的核心工具.

用香蕉空间的话来说, 就是.

极限与余极限 (limit/colimit)

我相信上面那个可能是唯一对你来说陌生的东西. 接下来我就要介绍一些范畴论会用到的简单东西了.

始对象/终对象 (initial/terminal objects)

首先是始对象和终对象.在范畴论中, 始对象与终对象是最简单的泛性质的例子.(←这句话是AI说的, 虽然我部分认同这句话)

设 $\mathcal{C}$ 是一个范畴.

始对象 (Initial Object)
一个对象 $I \in \mathcal{C}$ 称为始对象, 如果对于任意对象 $X \in \mathcal{C}$, 存在恰好一个态射 $I \to X$.
\[ \forall X \in \mathcal{C}, \quad |\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(I, X)| = 1. \]
终对象 (Terminal Object)
一个对象 $T \in \mathcal{C}$ 称为终对象, 如果对于任意对象 $X \in \mathcal{C}$, 存在恰好一个态射 $X \to T$.
\[ \forall X \in \mathcal{C}, \quad |\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, T)| = 1. \]
零对象 (Zero Object)
如果一个对象同时是始对象和终对象, 则称为零对象.

极限/余极限 (limit/colimit)

接下来是极限 (和余极限) , 那这就是最不简单的泛性质的例子 (确信)

极限 (Limit)

设 $ \mathcal{J} $ 是一个小范畴 (small category), $ D: \mathcal{J} \to \mathcal{C} $ 是一个图表 (diagram).

一个从顶点 $ L $ 出发的锥 (cone) 是一族与图表交换的态射 $ p_j: L \to D(j) $, 即对 $ \mathcal{J} $ 中每个态射 $ u: j \to k $, 有 $ D(u) \circ p_j = p_k $.

该图表的极限是一个泛锥 (universal cone) $ (\lim D, \, p_j: \lim D \to D(j)) $.其泛性质 (universal property) 为: 对任意其他锥 $ (M, q_j) $, 存在唯一 (unique) 态射 $ f: M \to \lim D $ 使得对所有 $ j $ 有 $ p_j \circ f = q_j $.

常见特例:

离散图表的极限: 积 (product), 记作 $ \prod_{j} D(j) $.
平行箭头图表的极限: 等化子 (equalizer).
形如 $ \bullet \to \bullet \leftarrow \bullet $ 图表的极限: 拉回 (pullback).

余极限 (Colimit)

给定相同的图表 $ D: \mathcal{J} \to \mathcal{C} $.

一个到达顶点 $ L $ 的余锥 (cocone) 是一族态射 $ i_j: D(j) \to L $, 满足对 $ u: j \to k $ 有 $ i_k \circ D(u) = i_j $.

该图表的余极限是一个泛余锥 (universal cocone) $ (\operatorname{colim} D, \, i_j: D(j) \to \operatorname{colim} D) $.其泛性质为: 对任意其他余锥 $ (M, j_j) $, 存在唯一态射 $ f: \operatorname{colim} D \to M $ 使得对所有 $ j $ 有 $ f \circ i_j = j_j $.

常见特例:

离散图表的余极限: 余积 (coproduct) 或和 (sum), 记作 $ \coprod_{j} D(j) $.
平行箭头图表的余极限: 余等化子 (coequalizer).
形如 $ \bullet \leftarrow \bullet \to \bullet $ 图表的余极限: 推出 (pushout).

完备/余完备范畴 (Complete/Cocomplete Categories)

一个范畴 $ \mathcal{C} $ 称为完备的, 如果 $ \mathcal{C} $ 中所有小图表 $ D: \mathcal{J} \to \mathcal{C} $ 的极限 $ \lim D $ 都存在.
一个范畴 $ \mathcal{C} $ 称为余完备的, 如果 $ \mathcal{C} $ 中所有小图表的余极限 $ \operatorname{colim} D $ 都存在.
若范畴同时完备且余完备, 则称为双完备的 (bicomplete).

在一般范畴下, 有一个关键定理: 一个范畴是完备的当且仅当它拥有所有 (小) 积和所有等化子.它是余完备的当且仅当它拥有所有 (小) 余积和所有余等化子.

你会在这里碰到一个概念: 小范畴.这个概念总是让人很烦的: 严格叙述这些是集合论的工作, 但我相信不会有谁对这东西感兴趣.我们直接采取 Lurie(iii), 也是 Gaitsgory 的处理方式: 小范畴就是所有 object 构成集合的范畴.

共尾/共首函子 (cofinal/coinitial functor)

处理极限和余极限的时候, 我们总是会做一些简化的: 比方说我们取 $x\in \mathbb{Z},x\to\infty$ 的时候, 我们总是可以只考虑 $x\geq 350234$ 的. 这种操作其实就是 cofinal/coinitial functor.

Cofinal Functor (共尾函子)

设 $ F: \mathcal{I} \to \mathcal{J} $ 是一个函子 (通常 $\mathcal{I}, \mathcal{J}$ 是小范畴) .

$ F $ 称为共尾的, 如果它满足极限不变性: 对任意范畴 $ \mathcal{C} $ 和任意函子 $ D: \mathcal{J} \to \mathcal{C} $, 如果余极限 $ \operatorname{colim}_{\mathcal{J}} D $ 存在, 则自然映射

\[ \operatorname{colim}_{\mathcal{I}} (D \circ F) \longrightarrow \operatorname{colim}_{\mathcal{J}} D \]

是一个同构.

Coinitial Functor (共首函子)

$ F: \mathcal{I} \to \mathcal{J} $ 称为共首的, 如果它在对偶范畴中是共尾的.即 $ F^{\mathrm{op}}: \mathcal{I}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{J}^{\mathrm{op}} $ 是共尾的.

他有一个等价定义, 涉及到 comma category (逗号范畴)与 zig-zag 图. 我们可以模掉这个定义, 因为 Lands 上面没写().

预层 (presheaf)

设 $\mathcal{C}$ 是一个范畴.一个$\mathcal{C}$ 上的预层是一个函子:

\[ F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set} \]

其中 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 是 $\mathcal{C}$ 的对偶范畴, $\mathbf{Set}$ 是集合范畴.

换句话说, 对每个对象 $X \in \mathcal{C}$, 指定一个集合 $F(X)$；对每个态射 $f: X \to Y$ 在 $\mathcal{C}$ 中, 指定一个映射 $F(f): F(Y) \to F(X)$ (方向反转) , 满足函子公理:

$F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}$
$F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$ (注意复合顺序反转) .

更一般地, 若 $\mathcal{D}$ 是任意范畴, 则取值于 $\mathcal{D}$ 的预层是函子 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}$.

自然变换 (Natural transformation)

那么, 我们好像已经要图穷匕见了: 我们首先引入 Natural transformation:

设 $ F, G: \mathcal{C} \to \mathcal{D} $ 是两个函子 (从范畴 $\mathcal{C}$ 到范畴 $\mathcal{D}$) .一个自然变换 $\eta: F \Rightarrow G$ 由以下数据构成:

对 $\mathcal{C}$ 中的每个对象 $ X $, 指定 $\mathcal{D}$ 中的一个态射 $\eta_X: F(X) \to G(X)$, 称为分量.

这些分量必须满足自然性条件: 对于 $\mathcal{C}$ 中的任意态射 $ f: X \to Y $, 下图在 $\mathcal{D}$ 中必须交换:

即 $\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X$.

Remark:

一个 lax 幺半自然变换 (lax monoidal natural transformation) 是两个 lax 幺半函子之间的、且与它们各自的松弛幺半结构相容的自然变换.

设 $(F, \varphi^F, \varphi^F_0)$ 和 $(G, \varphi^G, \varphi^G_0)$ 为两个幺半范畴 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的 lax 幺半函子. 它们之间的一个 lax 幺半自然变换 $\theta: F \Rightarrow G$ 是一个自然变换, 并且满足以下两个额外的相容性条件:

与张量积结构相容: 对 $\mathcal{C}$ 中任意对象 $X, Y$, 下图交换

与单位元结构相容: 下图交换

这里 $\otimes_{\mathcal{C}}, I_{\mathcal{C}}$ 和 $\otimes_{\mathcal{D}}, I_{\mathcal{D}}$ 分别是 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 的张量积与单位对象.

预层 (Presheaf)

设 $\mathcal{C}$ 是一个范畴. 一个 $\mathcal{C}$ 上的预层是一个函子:

\[ F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set} \]

其中 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ 是 $\mathcal{C}$ 的对偶范畴, $\mathbf{Set}$ 是集合范畴.

换句话说, 对每个对象 $X \in \mathcal{C}$, 指定一个集合 $F(X)$；对每个态射 $f: X \to Y$ 在 $\mathcal{C}$ 中, 指定一个映射 $F(f): F(Y) \to F(X)$（方向反转）, 满足函子公理:

$F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}$
$F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$（注意复合顺序反转）.

更一般地, 若 $\mathcal{D}$ 是任意范畴, 则取值于 $\mathcal{D}$ 的预层是函子 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}$.

米田引理 (Yoneda Lemma)

对于任意预层 $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$, 存在自然的双射:

\[ \mathrm{Nat}(h_X, F) \cong F(X) \]

其中 $\mathrm{Nat}(h_X, F)$ 表示从 $h_X$ 到 $F$ 的自然变换的集合.

米田嵌入 (Yoneda embedding) 与可表预层 (representable presheaf)

现在, 回顾 slice 的定义, 我们可以定义 $\mathcal{C}$ 上的 presheaves 构成的范畴, 他其实就是 $\mathrm{Set}^{\mathcal{C}^{op}/}$. 那么, Yoneda lemma 实际上诱导了 Yoneda embedding

\[ よ: \mathcal{C} \hookrightarrow \mathbf{Set}^{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}} \]

它定义如下:

将对象 $X \in \mathcal{C}$ 映至预层 $よ(X) := h_X = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, X)$.
将态射 $f: X \to Y$ 映至自然变换 $よ(f): h_X \Rightarrow h_Y$, 其分量
\[ (よ(f))_U: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(U, X) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(U, Y) \]
由 $g \mapsto f \circ g$ 给出.

米田引理保证了他的忠实性. 而他的像, 则称为可表预层.

熟悉的人都知道, 可表预层的定义是想飘万里. 因此, 你当然不能期望所有预层都是可表预层. 但是, 根据关键定理, 实际上我们有如此强大的结论:

Every presheaf is a colimit of representable presheaves.

换言之, $\mathrm{Set}^{\mathcal{C}^{op}/}$ 是 $\mathcal{C}$ 的 cocompletion.

Kan 扩张 (Kan extension)

设有函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ 和 $K: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$, 则 $F$ 沿 $K$ 的左 Kan 扩张是一个函子 $\operatorname{Lan}_K F: \mathcal{D} \to \mathcal{E}$（如果存在）, 使得对于任意函子 $G: \mathcal{D} \to \mathcal{E}$, 存在自然同构

\[ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}(\mathcal{D}, \mathcal{E})}(\operatorname{Lan}_K F, G) \cong \operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}(\mathcal{C}, \mathcal{E})}(F, G \circ K). \]

这实际上就是说 $\operatorname{Lan}_K F$ 是函子 $\operatorname{Fun}(\mathcal{D}, \mathcal{E}) \to \operatorname{Fun}(\mathcal{C}, \mathcal{E})$ 由复合 $K$ 所诱导的函子的左伴随.

反之, 也可以定义右 Kan 扩张 $\operatorname{Ran}_K F: \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ 满足相应的万有性质:

\[ \operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}(\mathcal{D}, \mathcal{E})}(G, \operatorname{Ran}_K F) \cong \operatorname{Hom}_{\operatorname{Fun}(\mathcal{C}, \mathcal{E})}(G \circ K, F). \]

即 $\operatorname{Ran}_K F$ 是复合函子的右伴随.

如果你想理解这个映射的话, 可以将 $K:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ 取成一个嵌入.

这种条件下我们考虑的是将 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{E}$ 自然地扩展到 $\mathcal{E}$ 上.

实际上当目标范畴 $\mathcal{E}$ 具有 (co)complete 性质时,, Kan 扩张有具体的表达式.

左 Kan 扩张可以表示为余极限:

\[ (\operatorname{Lan}_K F)(d) = \underset{(c \in \mathcal{C}_{/x})}{\operatorname{colim}} F(c), \]

右 Kan 扩张可以表示为极限:

\[ (\operatorname{Ran}_K F)(d) = \underset{(c \in \mathcal{C}_{x/})}{\lim} F(c), \]

没错, 不难看出前述关键结论实际上说的就是 $\mathcal{P}(\mathcal{C})$ 上在 Yoneda embedding 上的左 Kan 扩张.

一个 fancy 一点的写法, 是将复合 $K$ 的操作写为 $K^\ast$, 那么, $\operatorname{Lan}K$ 是 $K^\ast$ 的左伴随, $\operatorname{Lan}K$ 是 $K^\ast$ 的右伴随. 也就是说, 他们对应到 $K!$ 和 $K\ast$.

伴随 (adjunction)

范畴论最最后的概念是 adjunction.

伴随函子 (adjoint pair)

设 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 与 $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ 为函子.我们说 $F$ 是 $G$ 的左伴随 (等价地, $G$ 是 $F$ 的右伴随) , 记作 $F \dashv G$, 如果对于任意对象 $X \in \mathcal{C}, Y \in \mathcal{D}$, 存在自然的双射:

\[ \Phi_{X,Y}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{D}}(F(X), Y) \overset{\cong}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, G(Y)) \]

其自然性指: 对于任意 $f: X' \to X$ 在 $\mathcal{C}$ 中与 $g: Y \to Y'$ 在 $\mathcal{D}$ 中, 下图交换:

\[ \begin{array}{ccc} \mathrm{Hom}(F(X), Y) & \xrightarrow{\Phi_{X,Y}} & \mathrm{Hom}(X, G(Y)) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Hom}(F(X'), Y') & \xrightarrow{\Phi_{X',Y'}} & \mathrm{Hom}(X', G(Y')) \end{array} \]

单位/余单位 (unit/counit)

他有一个等价定义: unit 和 counit

单位 (Unit)

\[ \eta: \mathrm{id}_{\mathcal{C}} \Rightarrow G \circ F \]

即对每个对象 $X \in \mathcal{C}$, 有态射

\[ \eta_X: X \to G(F(X)). \]

它满足自然性: 对任意 $f: X \to Y$, 有 $G(F(f)) \circ \eta_X = \eta_Y \circ f$.

余单位 (Counit)

\[ \varepsilon: F \circ G \Rightarrow \mathrm{id}_{\mathcal{D}} \]

即对每个对象 $Y \in \mathcal{D}$, 有态射

\[ \varepsilon_Y: F(G(Y)) \to Y. \]

自然性: 对任意 $g: Y \to Y'$, 有 $g \circ \varepsilon_Y = \varepsilon_{Y'} \circ F(G(g))$.

它们必须满足以下三角恒等式 (Triangle Identities):

左三角恒等式 (对任意 $X \in \mathcal{C}$) :
\[ \varepsilon_{F(X)} \circ F(\eta_X) = \mathrm{id}_{F(X)} \]
(在 $\mathcal{D}$ 中: $F(X) \xrightarrow{F(\eta_X)} F(G(F(X))) \xrightarrow{\varepsilon_{F(X)}} F(X)$ 复合为恒等.)
右三角恒等式 (对任意 $Y \in \mathcal{D}$) :
\[ G(\varepsilon_Y) \circ \eta_{G(Y)} = \mathrm{id}_{G(Y)} \]
(在 $\mathcal{C}$ 中: $G(Y) \xrightarrow{\eta_{G(Y)}} G(F(G(Y))) \xrightarrow{G(\varepsilon_Y)} G(Y)$ 复合为恒等.)

关键结论

我们考虑伴随+(co)unit 构成的 adjunction pair, 有如下两个关键结论:

右伴随 $G$ 完全忠实当且仅当余单位 $\varepsilon$ 是自然同构.
左伴随 $F$ 完全忠实当且仅当单位 $\eta$ 是自然同构.

以及,

右伴随保持极限: 若 $G$ 是右伴随, 则 $G$ 保持所有 (小) 极限.即对任意函子 (图表) $H: \mathcal{J} \to \mathcal{D}$, 若极限 $\lim H$ 在 $\mathcal{D}$ 中存在, 则 $G(\lim H) \cong \lim (G \circ H)$ 在 $\mathcal{C}$ 中自然成立.
左伴随保持余极限: 若 $F$ 是左伴随, 则 $F$ 保持所有 (小) 余极限.即若余极限 $\operatorname{colim} K$ 在 $\mathcal{C}$ 中存在 (对 $K: \mathcal{J} \to \mathcal{C}$) , 则 $F(\operatorname{colim} K) \cong \operatorname{colim} (F \circ K)$.

后记/前言

那么, 得道成仙的第一步: 筑基, 也就完成了.

所谓积跬步而至千里, $1$-范畴的理论, 也是通向无穷之路的第一步.

屠龙技·前传: An Intro. to 1-Category

说点大家都知道的