至人无己, 神人无功, 圣人无名.

前言

这个系列 mainly based on Markus Lands 的 Introduction to Infinity-Categories. 只要你在哪里听过无穷范畴这个东西, 你肯定知道 Lurie 这个名字. 没错: 代数tv 在学习无穷范畴的时候也在思考, 为什么不直接读 Lurie.

当然, 这个原因非常简单: Markus Lands 只有 300 页, 是一本非常适合入门的教材. 与之对应的是, CG 和 Achar 各有 500 页, HTT (Higher topos theory) 有 700 页, 而耳熟能详的 HA (Higher Algebra) 则有 1500 页. 如果你在 300 或 500 多页左右的位置迷失了自我, 那你剩下 1000 页的体验就会极差.

当然那不是你, 也许你可以通过 Gaitsgory 的 Vol.1 Chapter.1 或者某篇论文的一页 Intro. to $\infty$-cat. 领会要点, 但这对于代数tv来说太难了. 代数tv学了一个学期无穷范畴, 但直到现在为止他还是处于脑袋尖尖的状态. 因此, 总结一下无穷范畴的初级理论, 也并非不迫在眉睫的事情.

好的, 好的. 那一个有人关心的问题就是, 为啥要学无穷范畴啊🤔

按照 M.L. 的话来说, 至少有这六个优势, 虽然我并没完全体验到, 但, 在这也罗列一下吧

1. 一些比较诡异的东西, 像 homotopy (co)limits, 自然地转化到 $\infty$-cat. 中自然地东西: 一些 obj. with universal property.

2. 如果我们说明了某些东西具有泛性质, 我们就可以自然地构造一些映射, 而不仅仅机械地通过看他 associated 的一些东西来打到什么 e.g. 拓扑 $K$-理论的一些 natural maps.

3. $\infty$-cat. 允许你比较好地定义一些 object. e.g. 代数 $K$-理论, 你不用通过什么 $S^{-1}S,Q,S_\cdot$来构造他 (我不知道这个构造是什么意思qwq).

4. 一堆不错的 $\infty$-cats 放在一起仍旧是一个 $\infty$-cat. 这是一个很大的优势: 你把一堆 1-范畴扔在一起, 它上面的 natural transform. 就给出了 2-范畴的结构. 这时候你去考虑一些牵扯范畴到 2-范畴的东西(比如 Grothendieck fibration), 就会很鬼畜.

5. $\infty$-cat. 的理论给出了自然的从拓扑空间/概型到满足 descent 性质的一些 cats. 这允许我们去现代地理解 descent theorem for $K$-theory.

6. 借助 $\infty$-cat. 你可以像 local system 上的 Verdier dual 一样良好地处理 generalized Poincare duality.

即使在上中下不会提到, 你可以看到空气中存在的 $K$-理论, 六函子, Poincare dual 之类的东西. 但在此之前, ML 还告诉了你 $\infty$-cat. 中一个巨大的弊病, 这个可以在你读完第一章并仔细想一下看出:

你没有办法徒手构造任何东西.

好的, 当然这是夸张过头了, 至少我还可以徒手定个机票定个酒店再炒俩菜啥的. 不过这也算暂时介绍了一下我们的图景: 无穷范畴的图景.

好吧, 那就开始吧.

单纯集与几何

什么是单纯集(Simplicial Set)

故事的开始我们考虑 $PoSet$ category of partial order sets. 他们之间的 morphisms 由集合之间 (不必严格的) 保序映射给出.

$\Delta$ category

现在, 我们 fix 一个贯穿始终的 category: $\Delta$, 他是全体 \(\left\{0,\cdots,n\right\},n\geq 0\) 给出的 full subcategory.

如果仔细考虑其中结构的话, 你就会考虑出来一堆 $s_i,d_i$. 也就是说, 你会自然地有这样的东西:

好吧, 我当然少画了很多条线, 但这不重要. 重要的是, 很快就能引出单纯集的定义了.

单纯集 (simplicial set)

单纯集是 $\Delta$ 上的一个 presheaf. 也就是说, 一个函子 $X:\Delta^{op}\to \text{Set}$.

在这种 setting (model) 下, 你总是可以问: $X_n:=X([n])$ 作为一个 set, 到底是什么. 在这里, $\alpha:[n]\to[m],n\geq m$ 的情况就可以给出 $\alpha^\ast :X_m\to X_n$. 我们称这样的东西给出的像集是 degenerate 的.

你可以很快地给出一个例子: 对于某个空间, 其单纯形构成的集合确实是一个单依纯集. 但实际上, 这个给出的单纯集性质几乎好得不能再好了. 我们会在后面看出这一点.

[Prop] 现在, 我们定义单纯集 $\Delta^n$ by $(\Delta^n)_m=\operatorname{Hom}_{\Delta}([m],[n])$. 于是, 根据一般范畴上的 Yoneda,

以及, Yoneda 提到了, 考虑所有到 cocomplete cat. 的 presheaf 全体, Yoneda embedding 的像在 colim 下稠密. (Ref:前传-米田嵌入 (Yoneda embedding) 与可表预层 (representable presheaf)). 于是, 实际上

乘积和形式 Hom (这俩名字是我自己取的, 好的)

对于 $X$ sSet, 我们可以诱导函子 $X\times:\text{sSet}\to\text{sSet}$. 我们有如下结论:

[Prop] $X\times$ admits right adjoint $\underline{\operatorname{Hom}}(X,-)$, determined by

我们会记 $\underline{\operatorname{Hom}}(X,Z)$ 为 $Z^X$. 这个引理是比较显然的, 我们在上面进行了直接构造. 以及, $X\times$ 保 colim 和 sSet 都是 colim of 可构造.

几何侧

好的, 现在引进熟人 $Top$ 范畴, 他的 morph. 是 continuous map. 在这里, 我们暂时使用记号 $\Delta^n_{top}$ 来表示拓扑上的 $n$-单形.

奇异单纯形 (Singular simplicial set) 与几何实现 (geometry realization)

上面我们提到了 sSet $S(X):=([n]\mapsto \operatorname{Hom}_{Top}(\Delta_{top}^n,X))$. 我们有如下引理:

[Lemma] $S$ admit a right-adjoint: geometric realization

边界 (Boundary), 角 (Horn), 脊柱 (Spine): 空间嵌入

从几何上, 我们会引入 $\Delta^n$ 的一些 sub. 也就是一些 sSet $X\hookrightarrow \Delta^n$. 严格地说, 就是一些 $Y:\Delta\to Set$, $Y([m])\subset\Delta^n([m])=\operatorname{Hom}([m],[n])$.

(1) Boundaries: $\partial\Delta^n$, \(\partial\Delta^n([m])=\left\{f\in \operatorname{Hom}([m],[n]),\operatorname{im} f\text{ not surj.}\right\}\).

(2) Horns: $\Lambda^n_i$, $0\leq i\leq n$, \(\Lambda^n\_i([m])=\left\{f\in \operatorname{Hom}([m],[n]),\operatorname{im} f\not\supset [n]\backslash i\right\}\). (这之中 $i=0$ 的 case 称为 left horn, $i=n$ 的 case 称为 right horn, 其他 case 称为 inner horn).

(3) Spines: $I^n$, \(I^n([m])=\left\{f\in \operatorname{Hom}([m],[n]),\operatorname{im} f=\left\{j,j+1\right\}\text{ or }\left\{j\right\}\right\}\).

解剖学来了() 从几何的角度来说, 这几个哥们的集合实现恰好就是 bdry, horn 和 spine.

骨骼 (skeleton), 上骨骼 (coskeleton): CW-滤过

以及, skeleton 和 coskeleton, 考虑 $i:\Delta_{\leq n}\to \Delta$, 定义 skeleton $\operatorname{sk}_n(X)=i_!i^\ast (X)$, coskeleton $\operatorname{cosk}_n(X)=i_\ast i^\ast (X)$.

一个简单的刻画就是,

sk. 与 cosk. 对应所有与 $X_{\leq n}$ coincide 的极小与极大的 sSet.

他们之间的关系是, $(\operatorname{sk}_n,\operatorname{cosk}_n)$ 为adjoint pair.

这个实际上给出来了 sSet 集合实现上的 CW-complex 结构. 其中 degree $\leq n$ 的部分就对应到 $\operatorname{sk}_n$ 的 geom. real.

神经 (nerve): 范畴到单纯集

然后是第三个构造: 神经 (nerve). 对于一个一般 category $\mathscr{C}$, 我们定义其 nerve $N\mathscr{C}$ 是 sSet given by

你可以直接看出, $\Delta^n=N([n])$.

在这里, 我们借助上述语言给出第一个几何``玩意’':

对于 $G$ group, 把他视为 groupoid, 则 classifying space $BG:=|NG|$.

Kan 复形

我们称 $X$ 是 Kan cpx., 如果他对于 所有 horn inclusion 有提升性质.

几何上, 你可以看出所有拓扑空间上的 singular cpx. 是一个 Kan cpx.

你可以立刻看出: $N\mathscr{C}$ Kan cpx. $\operatorname{im}plies \mathscr{C}$ groupoid. 但, 实际上我们可以更精确地刻画他

定理:(刻画 nerve) $X$ simplicial set, TFAE:

(1) $X$ 对于 $\Lambda^n_j\to \Delta^n$, $0<j<n$ 有唯一提升性质,

(2) $X$ 对于 $I^n\to \Delta^n$, $n\geq 2$ 有唯一提升性质,

(3) $X\simeq N\mathscr{C}$.

有: $N\mathscr{C}$ 几乎是一个 Kan complex: 他对 $n\geq 4$ 的 horn inclusion 有提升性质. (你可以通过 nerves 是 $2$-coskeletal 看出). 此外, 他是 Kan complex 当且仅当 $\mathscr{C}$ 是 groupoid.

无穷范畴 ($\infty$-category) 与充实范畴 (enriched category)

$\infty$-范畴和他的兄弟姐妹 (brothers and sisters).

复合器 (composer) 与复合

称一个 sSet 是一个 composer, 如果他对于 spine inclusion $I^n\to\Delta^n$ 有提升性质.

于是我们可以定义一堆 morphisms (1-simplex) 的复合: 一个 $\Delta^n$ 提升的选取. 这当然不是唯一的, 这也就体现出了该理论中一个重要的特质: 复合不一定唯一.

1-simplex 间的等价

对于 $X$ sSet, $f,g:x\to y$ 1-simplices. 我们称 $f$ 和 $g$ 等价 (equivalent), 如果存在 2-simplices $\sigma:\Delta^2\to X$, 使得

(i) $\sigma|_{\Delta^{{0,1}}}=f$,

(ii) $\sigma|_{\Delta^{{0,2}}}=g$,

(iii) $\sigma|_{\Delta^{{1,2}}}=\operatorname{id}_y$.

你当然能 check 自反性. 但传递性和对称性呢? 实际上, 你可以很快看出, 如果 composer $X$ 具有 inner $3$-horn inclusion lifting property, 那么

(1) $f,g$ 之间的 composite 存在,

(2) 上述 equivalent 确为一等价条件,

(3) 任意两个 composite 的选取互相 equivalent.

(4) 如果条件改为

(i) $\sigma|_{\Delta^{{1,2}}}=f$,

(ii) $\sigma|_{\Delta^{{0,2}}}=g$,

(iii) $\sigma|_{\Delta^{{0,1}}}=\operatorname{id}_x$.

那么仍然有 $f\sim g$.

同伦范畴 (homotopy cat.)

之前我们构造了 nerve $N:Cat\to sSet$. 现在, 我们可以构造 homotopy category: $h:sSet\to Cat$, with

Objects: $X_0$

Morphisms: $X_1$, together with free comp. $f\star g$. 并模掉上述等价关系. (这里有一点 subtle: 比方说, 要处理 free comp. 上的等价关系, anyway 这个不太重要).

当然, 你可以直接看出, $hX=h(\operatorname{sk}_2(X))$.

% 这里我不确定要不要讲 $\pi$

他们之间的关系如下:

[Prop] $h(N(\mathscr{C}))\simeq \mathscr{C}$ canonically.

[Prop] $(h,N)$ adjoint pair.

这俩和前传中的某一个定理, 直接给出如下结论:

[Cor] $N$ fully faithful.

[Cor] $N(\mathscr{C})\sim \operatorname{cosk}_2(N(\mathscr{C}))$.

无穷范畴 ($\infty$-cat.)

现在, 我们终于可以引入主角: 无穷范畴.

称一个 sSet 是一个 $\infty$-cat, 如果他对于 horn inclusion $\Lambda^n_j\to\Delta^n$, $n\geq 2,0<j<n$ 有提升性质.

接下来这是一个相当难证的命题. 我们也未必 (有 $50 \baifenhao$ 概率) 会证明之.

[Prop] Every $\infty$-cat. is a composer. But there are composers which are not $\infty$-categories.

无穷群胚 ($\infty$-gpod.)

好的, 我们称一个 $\infty$-cat. 中的 morph. 是 equiv., 如果他在 homotopy cat. 中的像是 isom.

我们称一个 $\infty$-cat. 是 $\infty$-groupoid, 如果所有 morphism 都是 equivalence.

对于一个 $\infty$-cat. $\mathscr{C}$ 我们可以通过考虑其 pullback of $N((h\mathscr{C})^{\simeq})$, 其中 $(h\mathscr{C})^{\simeq}$ 为取 $h\mathscr{C}$ 中所有 isom. 作为 morph. 得到的 subcat.

他有如下刻画

[Prop] $x$ $n$-simplex 包含于 $\mathscr{C}^\simeq$, iff all its edges are equiv.

[Prop] $\mathscr{C}^\simeq$ 依然是 $\infty$-cat.

以及

[Prop] Kan complex 总是 $\infty$-gpod.

充实范畴 (enriched category)

首先, 需要 remark 一下, 在前传中我添加了一些幺半范畴的内容. 这部分是众所周知的前置了.

Lax monoidal 函子的自然变换给出了 $\operatorname{Fun}^{\text{lax}}(\mathscr{C},\mathscr{D})$ 上的范畴结构,

自然也可以考虑 monoidal 函子构成的 full subcat. $\operatorname{Fun}^\otimes (\mathscr{C},\mathscr{D})$.

充实范畴 (enriched category)

对于 $V$ monoidal category, 我们定义 $V$-充实范畴 $\mathscr{C}$ 为如下信息:

1. 对象类 \(\operatorname{Ob}(\mathcal{C})\)（由于格罗滕迪克宇宙的缘故, 我们始终相信 Object 是一个集合）.

2. 对任意两个对象 \(x, y \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), 他们之间的 morph. 落在 $V$ 中:

   \[ \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(x, y) \in \mathcal{V}. \]

3. 对任意三个对象 \(x, y, z \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), 复合态射由 $\otimes$ 给出:

   \[ \circ_{x,y,z} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(y, z) \otimes \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(x, y) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(x, z). \]

4. 对任意对象 \(x \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})\), 有一个 恒等态射（在 \(\mathcal{V}\) 中）

   \[ \operatorname{id}_x : I \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(x, x). \]

并满足适当地相容性. 同样地, 我们可以自然地定义 $V$-enriched functor between $V$-enriched cat.

最后, 我们定义 $Cat_V$ 为 $V$-enriched category together with $V$-enriched functors 构成的 cat.

这些定义可能比较自然, 或者有些摸不着头脑. 这暂时不太重要.

单纯范畴 (simplicial category)

在之前, 我们定义了 $sSet$. 我们可以将 $sSet$ together with Cartesian prod with Sets 视为 monoidal cat. 于是, 考虑 $sSet$-enriched category, 我们定义这类为 simplicial category, 并记全体 simplicial cat. 构成的范畴为 $\operatorname{Cat}_\Delta$.

[Prop] $\operatorname{Cat}$ bicomplete.

[Cor] $\operatorname{Cat}_\Delta$ bicomplete.

现在, 对于 $\phi:V\to V’$ lax monoidal functor between monoidal cat. 我们对每个 hom-obj. 运用 $\phi$ 得到一个自然的 functor

这里的几个例子就是,

$c’:Set\to sSet$, $X\mapsto ([n]\mapsto X)$.

$h: sSet\to Set$, homotopy cat.

$ev_0:sSet\to Set$, $ev_0=\operatorname{Hom}_{sSet}(\Delta^0,-)$.

我们记 $c=c’_\ast,\pi=h_\ast ,u=(ev_0)_\ast $. 于是

[Lemma] $(\pi,c)$, $(c,ev_0)$ monoidal adjunction.

大黑箱 (BigBlackBox)

或者, 这部分内容也是一层一层往上盖的, 黑箱结束的部分会建立在这些东西之上, 就像塔状结构一样. 因此, 你也可以称这部分为大黑塔 (The Herta).

设 \( J \) 是一个有限非空全序集, \( i, j \) 是其中的两个元素. 定义 \( P_{i,j} \) 为 \( J \) 的满足以下条件的子集构成的集合:

换言之, \( P_{i,j} \) 由区间 \( [i, j] \subseteq J \) 中所有同时包含 \( i \) 和 \( j \) 的子集组成.

集合 \( P_{i,j} \) 通过包含关系构成偏序集: \( I \le I' \Leftrightarrow I \subseteq I' \). 注意仅当 \( i \le j \) 时 \( P_{i,j} \) 才非空.

设 \( J \) 是一个非空全序集. 以下给出一个单纯充实范畴 \( \mathfrak{C}[\Delta^{J}] \in \operatorname{Cat}_{\Delta} \) 的定义.

• 对象: \( \mathfrak{C}[\Delta^{J}] \) 的对象是 \( J \) 的元素.

• 态射单纯集:

其中 \( \operatorname{N}(P_{i,j}) \) 表示偏序集 \( P_{i,j} \) 的神经.

复合运算由观察 1.2.55 中描述的映射诱导: 对任意满足 \( i \le j \le k \) 的三元组, 存在典范的偏序集映射

取神经后即给出复合映射

[Lemma] 1.2.67

单纯充实范畴的范畴 \(\operatorname{Cat}_{\Delta}\) 允许所有小余极限. 因此, 上述构造扩充为保余极限函子

它将 \(\Delta^n\) 送到 \(\mathfrak{C}[\Delta^n]\). 这个函子自动成为单纯神经函子的左伴随.

[Lemma] 1.2.69

设 \(0 < j < n\) 并考虑角 \(\Lambda_j^n\). 我们有 \(\mathfrak{C}[\Lambda_j^n]\) 是 \(\mathfrak{C}[\Delta^n]\) 的子单纯充实范畴, 具有以下性质:

1. \(\mathfrak{C}[\Lambda_j^n]\) 的对象由 \(\Lambda_j^n\) 的顶点给出, 因此与 \(\mathfrak{C}[\Delta^n]\) 的所有对象相同.

2. 态射单纯集如下给出:

   \[ \operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}[\Lambda_j^n]}(i,k) = \operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}[\Delta^n]}(i,k) \]

   除非 \((i,k) = (0,n)\), 而当 \((i,k) = (0,n)\) 时,

   \[ \operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}[\Lambda_j^n]}(0,n) \subseteq \operatorname{Hom}_{\mathfrak{C}[\Delta^n]}(0,n) = \operatorname{N}(P_{0,n}) \]

   是由从 \((\Delta^1)^{n-1}\) 中删除其内部以及第 \(j\) 个底面所得到的子单纯集.

相干神经 (coherent nerve)

对于 $\mathscr{C}$ simplically enriched cat. 定义其 coherent nerve 为

[Lemma] $\mathscr{C}$ 的 coherent nerve 自动是一个 composer. Furthermore, 其是一个 $\infty$-cat. iff 所有的 hom-simplicial sets 都是 Kan cpx.

我们来捋一下关系:

$1\text{-Cat}$: Set enriched cat, $2\text{-Cat}$: Cat enriched cat.

无穷范畴 $\operatorname{Spc}$

现在, 考虑如下 sCat:

Obj: CW-cpxs,

Mor sSet: $S(Maps(X,Y))$, singular set of mapping space.

对于 singular sets, 对于 spines/horns 来说, 由于强同伦收缩核性质, 他当然想怎么提升就怎么提升. 因此他其实是 Kan-enriched 的. 其 coh. nerve 记作 $\operatorname{Spc}$. 他可以刻画如下:

Obj: CWs,

Mor: pts of mapping spaces $map(X,Y)$, moreover, $h(Spc)$ 的 morphs, 恰为 homotopy classes of maps.

子无穷范畴 (sub-$\infty$-cat.)

[Lemma] prod./coprod. of $\infty$-cats are $\infty$-cats.

对于 $\infty$-cat. $\mathscr{C}$, 定义其 sub-$\infty$-cat. 为 $0$-simplices $X\subset \mathscr{C}_0$, $1$-simplices $S\subset \mathscr{C}_1$ 连接 $X$ 中元素, 且对于 id. 和 comp., equiv. 封闭. 而 $n$-simplices 包含于 $\mathscr{C}’$ iff all edges rest. to $I^n$ contained in $S$. 其称为 full 的, iff $S$ 包含所有 $1$-simplices with bdry in $X$.

[Prop] Sub-$\infty$-cat. of $\mathscr{C}$ 1-1 corresp. to subcat. of $h\mathscr{C}$, full sub-$\infty$-cat. of $\mathscr{C}$ 1-1 corresp. to full subcat. of $h\mathscr{C}$.

$\infty$-范畴视角下的自然变换

我们定义 $\infty$-cat. 间的 functors $f,g:\mathscr{C}\to\mathscr{D}$ 之间的 natural transf, 为一个 simplicial map $\mathscr{C}\times\Delta^1\to \mathscr{D}$ that restrics appropriately.

实际上, 回忆之前的 $\underline{\operatorname{Hom}}(X,Y)$ 定义, functors 和 natural transf. 对应到 $\underline{\operatorname{Hom}}(X,Y)$ 中的 0,1-simplices. 我们希望这仍旧是一个 $\infty$-cat. 这并不显然, 而这正是下一节的任务之一.

纤维化 (fibration)

这一章我可能会后面整理一下. 我觉得只用关心那些重要的东西就行了.

左/内/右 (left/inner/right) 纤维化 (fibration) 与钝态射 (anodyne)

首先, 一个 map of sSets $X\to Y$ 被称作 inner/left/right fibration, 如果他拥有对 inner/left/right horn inclusions 的 RLP (right lifting property):

一个 map of sSets $A\to B$ 被称作 inner/left/right anodyne 的, 如果它拥有对 inner/left/right fibration 的 LLP (left lifting property):

我们可以有一般的 setting: $S$ set of morphs. $\chi_R(S)$ 所有对 $S$ 有 RLP 的 morphs, $\chi_L(S)$ 所有对 $S$ 有 LLP 的 morphs. 那么, 记 $S$ i/l/r horn inclusions, ilr fibs 与 ilr anodynes 就对应 $\chi_R(S)$ 与 $\chi_L(\chi_R(S))=:\chi(S)$.

饱和集 (saturated set)

回忆收缩 (retract) 的定义, 一个映射 $f:A\to B$ 被称作一个 retract of $f’:A’\to B’$, 如果有 comm diag.

现在, 我们称一个 set of morphs of sSets $T$ 是 saturated 的, 如果他在 taking pushout, arbitrary coprod., countable composition (colim along $\mathbb{N}$), retract 下封闭. 我们记 $S$ 的饱和闭包为 $\bar{S}$.

[Lemma] $\chi_L(S)$ 为一个饱和集. In particular, $\chi(S)$ 也是一个饱和集.

composer 不一定是 $\infty$-cat.

我们有如下定理:

[Prop] $S$ set of ${A_i\to B_i}$ s.t. $A_i$ 都仅拥有有限 nondeg. simplices. 于是任意 $f$, $f$ 可以被分解为 $g\circ h$ s.t. $h\in \bar{S},g\in \chi_R(S)$.

当然不理解这个也无所谓, 这个主要是用来给出如下结论

于是, 存在 composer which is not an $\infty$-cat.

$\infty$-cat. 总是 composer

[Lemma] $S$ set of ${A_i\to B_i}$ s.t. $A_i$ 都仅拥有有限石块. 于是 $\bar{S}=\chi(S)$.

[Cor] $\text{l/i/r anodynes}$ 恰为 $\overline{\text{l/i/r horn inclus}}$.

Moreover, 他们都是 monos.

于是, 我们可以回答在第二部分给出的问题. 对于 $F:\mathscr{C}\to\mathscr{D}$ morph. of sCats, 如果对任意 $X,Y\in\mathscr{C}$, $\operatorname{Hom}_\mathscr{C}(X,Y)\to\operatorname{Hom}_{\mathscr{D}}(FX,FY)$ Kan fib. 于是 $NF:N\mathscr{C}\to N\mathscr{D}$ inner fib.

[Cor] $F:\mathscr{C}\to \mathscr{D}$ functor betrwwn ord. cat. 于是 $NF:N\mathscr{C}\to N\mathscr{D}$ inner fib.

而对于 $(\ast)$, 我们可以说得更多:

[Prop] $I^n\to \Delta^n$ inner-anodyne.

[Cor] $\infty$-cat. is always composer.

平凡 (trivial) 纤维化与 Joyal 纤维化

现在, 我们有 l/i/j fib. 了, 我们还要引入更多的 fibs:

称 $X\to Y$ 是 trivial fib. 如果他拥有 RLP w.r.t. $\partial \Delta^n\to \Delta^n$, for $n\geq 0$.

现在, 定义 $J=N(\circ\to \circ)$,

称 $X\to Y$ 是 Joyal fib. 如果他是一个 inner fib, 且拥有 RLP w.r.t. $\Delta^0\to J$.

两个重要构造

首先, 通过 $f:X\to Y$ 与 $i:A\to B$, 我们有 comm. diag.

于是 induces 了

Dually, 对于 $i:A\to B$, $g:S\to T$, 我们有

于是 induces 了

他们之间有如下关键关系:

[Lemma] 如下两个 lifting problems are equiv.

$\infty$-cat. $\operatorname{Fun}(\mathscr{C},\mathscr{D})$.

于是, 关于 $i\boxtimes g$, 我们有如下关键引理

[Lemma] 考虑 $i,g$ monom. 有

$i\boxtimes g$ i/l/r-anodyne if $i$ or $g$ i/l/r-anodyne.

这是通过仔细地看 anodynes 的 saturate generators 来完成的. 我们跳过这个引理. 他是为了这个大定理服务的.

[Thm] Let $f:X\to Y$ i/l/r fib. $i:A\to B$ monom. then

(1) $\langle f,i\rangle$ i/l/r fib.

(2) If $i$ i/l/r anodyne, then $\langle f,i\rangle$ trivial fibration.

[Cor] $K,X$ sSets, $X$ $\infty$-cat. then so is $X^K$. If $X$ Kan cpx. then so is $X^K$.

于是, 这允许我们从 $\mathscr{C},\mathscr{D}$ $\infty$-cat. 出发, 定义 $\operatorname{Fun}(\mathscr{C},\mathscr{D})=\underline{\operatorname{Hom}}(\mathscr{C},\mathscr{D})$ $\infty$-cat.

$\infty$-(groupoid) $\operatorname{map}(x,y)$

现在, 考虑 $N(\operatorname{Kan})=\hat{\operatorname{Spc}}$ coherent nerve. 由 $CW\to Kan$ 我们induces 自然的 functor $\operatorname{Spc}\to \hat{\operatorname{Spc}}$.

[Cor] sSet $\mathscr{C}$ 是 $\infty$-cat. iff $\mathscr{C}^{\Delta^2}\to\mathscr{C}^{\Lambda_1^2}$ trivial fib. In particular, $\Lambda_1^2\to \mathscr{C}$ 的 fiber 总是 Kan cpx.

也就是说, $f,g$ 的 composition 构成的 sSet $\operatorname{Comp}_\mathscr{C}(f,g)\to \Delta^0$ 是一个 trivial fib.

现在, 考虑 $X\to Y$ trivial fib. 由于 $\operatorname{Hom}(A,X)\to \operatorname{Hom}(A,Y) $ 总是 trivial fib, 我们取 $A=Y$, 得到 contractible Kan cpx of fibers over $id_Y$. 这个空间被称作 $X\to Y$ 的 section.

对于 $\mathscr{C}$ $\infty$-cat, $x,y\in\mathscr{C}$, 考虑 pullback

而我们有关键的如下结论: 这也便是 $(\infty,1)$-cat. 中 $1$ 的含义.

[Prop] $\operatorname{map}_\mathscr{C}(x,y)$ 总是 $\infty$-groupoid.

最后一节了qaq